数学 - 解析学 - 連続写像の空間 - ストーン・ワイエルシュトラスの定理(関数環、和、スカラー倍、積、有界写像全体の集合、連続写像全体の集合、有界連続写像全体の集合)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.2(ストーン・ワイエルシュトラスの定理)、問題1.を取り組んでみる。

1. • 
     
     $f,g\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(X\right)$

     とする。

     このとき、 ある定数

     $M_1,M_2$

     が存在して、集合 X の任意の元 x に対して

     $\left|f\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M_1,\left|g\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M_2$

     が成り立つ。

     このとき、

     $\begin{array}{}\left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M_1{M}_2\\ \left|cf\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|c\right|M_1\\ \left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M_1{M}_2\end{array}$

     が成り立つので、

     $f+g,cf,fg\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(X\right)$

     よって、有界写像全体の集合は関数環である。

   • 
     
     $f,g\in \; <!--\; element\; of\; -->C\left(X\right)$

     とする。

     $f+g,cf,fg\in \; <!--\; element\; of\; -->C\left(X\right)$

     よって、連続写像全体の集合は関数環である。

   • 
     

     上記のことから、

     $f,g\in \; <!--\; element\; of\; -->C^b\left(X\right)$

     のとき、

     $f+g,cf,fg\in \; <!--\; element\; of\; -->C^b\left(X\right)$

     よって、有界連続写像全体の集合は関数環である。