数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 濃度の演算(濃度の冪(べき)、大小、写像の集合)

集合・位相入門

学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、3(濃度の演算)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   集合

   $A\text{'},A,B\text{'},B$

   について、

   $\begin{array}{}\mathrm{card}A=m\\ \mathrm{card}A\text{'}=m\text{'}\\ \mathrm{card}B=n\\ \mathrm{card}B\text{'}=n\text{'}\end{array}$

   とする。

   $n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\text{'},m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->m\text{'}$

   より、 全射 u、

   $u:A\text{'}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->A$

   単射 v、

   $v:B\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->B\text{'}$

   が存在する。

   このとき、 A から B への写像全部の集合の任意の元fに対し、写像

   $v\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->u:A\text{'}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->B\text{'}$

   を対応させれば、写像

   $\mathrm{\Phi \; <!--\; greek\; capital\; letter\; phi\; -->}:F\left(A,B\right)\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->F\left(A\text{'},B\text{'}\right)$

   が得られる。

   この写像は第1章の5（添数づけられた族、一般の直積）の問題15より、単射である。

   よって、

   $n^m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(n\text{'}\right)}^{\left(m\text{'}\right)}$

   が成り立つ。

   （証明終）