2017年12月14日木曜日

学習環境

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、2(可算集合、非可算集合)、問題5.を取り組んでみる。


  1. 問韙の有限部分集合全体の集合を X とおく。

    A は可算集合なので、

    card card X

    また、任意の正の整数 n に対して、

    card A n = card

    よって、

    card U n + A n = card

    集合 Y を

    Y = U n + A n

    とおく。

    y を Y の任意の元とする。
    そのとき、ある正の整数 m が存在して、

    y A m

    となる。

    y = a 1 , , a n A m

    とおく。

    以上のことから、 Y から X への写像を、

    f : Y X f y = a 1 , , a m

    と定める。

    この写像 f は Y から X への全射である。

    よって、

    card X card Y = card

    ゆえに、

    card X = card

    となる。

    (証明終)

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