数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 可算集合、非可算集合(有限部分集合の全体、高々可算な集合の和集合、直積)

集合・位相入門
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

集合・位相入門(松坂和夫 数学入門シリーズ 1) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、2(可算集合、非可算集合)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   問韙の有限部分集合全体の集合を X とおく。

   A は可算集合なので、

   $\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}X$

   また、任意の正の整数 n に対して、

   $\mathrm{card}{A}^n=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$

   よって、

   $\mathrm{card}\left(U_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}}\left(A^n\right)\right)=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$

   集合 Y を

   $Y=U_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}}\left(A^n\right)$

   とおく。

   y を Y の任意の元とする。
   そのとき、ある正の整数 m が存在して、

   $y\in \; <!--\; element\; of\; -->A^m$

   となる。

   $y=\left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->A^m$

   とおく。

   以上のことから、 Y から X への写像を、

   $\begin{array}{}f:Y\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\\ f\left(y\right)=\left\{a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_m\right\}\end{array}$

   と定める。

   この写像 f は Y から X への全射である。

   よって、

   $\mathrm{card}X\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}Y=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$

   ゆえに、

   $\mathrm{card}X=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$

   となる。

   （証明終）