2017年12月1日金曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題1.を取り組んでみる。


    1. a

      をこえない約数をもたないと仮定する。

      p を素数とし、

      p > a a = p q

      と a を因数分解する。

      p = a , q = 1

      の場合、 a が合成数であるという仮定に反するので、

      p a

      そして、

      p > a

      から、

      q a

      だと、

      p q > a

      となってしまうので、

      q < a

      これは、 a が

      a

      を こえない約数をもたないという仮定と矛盾する。

      よって、 合成数 a は

      a

      をこえない1ではない約数をもつ。
      (証明終)


    2. 除去されずに残っている数に合成数 a が存在すると仮定する。

      N < a N a N

      上記の(a)より、合成紋 a は、

      a

      をこえない約数をもつ。

      p a a = p q

      P の素因数分解を考えれば、 a は

      p 0 N

      を満たす素数の倍数である。

      このことは、問題の素数の倍数を全部除去したということと矛盾する。

      よって、残っている数はすべて素数である。

      (証明終)

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