数学 - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素数上の独立性と実数上の独立性(実係数の同次連立1次方程式と自明でない複素数解、自明でない実数解)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、7(複素数上の独立性と実数上の独立性)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   自明でない複素数解を、

   $x_k=b_k+c_{k}i\left(b_k,c_k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->},k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   とする。

   このとき、

   $\begin{array}{}{a}_{11}\left(b_1+c_{1}i\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}\left(b_n+c_{n}i\right)=0\\ \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ a_{m1}\left(b_1+c_{1}i\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}\left(b_n+c_{n}i\right)=0\end{array}$
   $\begin{array}{}\left(a_{11}{b}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{b}_n\right)+\left(a_{11}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{c}_n\right)i=0\\ \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \left(a_{m1}{b}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{b}_n\right)+\left(a_{m1}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{nn}{c}_n\right)i=0\end{array}$

   となるので、

   $\begin{array}{}{a}_{11}{b}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{b}_n=0,a_{11}{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{1n}{b}_n=0\\ \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ a_{m1}{b}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{b}_n=0,a_1{c}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{mn}{c}_h=0\end{array}$

   ここで、

   $x_k\left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   は複素数の自明ではない解という仮定より、

   $b_k\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\vee \; <!--\; logical\; or\; -->c_k\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   を満たす k が存在するので、 自明でない実数解をもつ。
   （証明終）