数学 - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(ベクトル空間、連立1次同次方程式、解の集合)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}X=\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->x_n\right)\\ Y=\left(y_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,y_n\right)\\ Z=\left(z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,z_n\right)\end{array}$

   を解の集合の元とする。

   $\begin{array}{}X+Y=\left(x_1+y_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+y_n\right)\\ a_{k1}\left(x_1+y_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{kn}\left(x_n+y_n\right)\\ =a_{k1}{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{kn}{x}_n+a_{k1}{y}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{kn}{y}_n\\ =0+0\\ =0\end{array}$

   よって解の集合は加法について閉じている。

   $\begin{array}{}c\in \; <!--\; element\; of\; -->K\\ cX=\left(c{x}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,c{x}_n\right)\\ a_{k_1}c{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{kn}c{x}_n\\ =c\left(a_{k1}{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{kn}{x}_n\right)\\ =c·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ =0\end{array}$

   よって、解の集合はスカラー倍について閉じている。

   零ベクトルは、

   $\begin{array}{}O=\left(0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,0\right)\\ a_{k1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{kn}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0=0\end{array}$

   よって、体 K における n 未知数の連立1次同次方程式の解空間は K の上のでクトル空間をなす。