数学 - Python - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素平面(絶対値、差、積、共役、等号)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、2(複素平面)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   左辺の2乗について。

   $\begin{array}{}{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ =\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)\\ =\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}{\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}^{-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\\ ={\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\end{array}$

   右辺の2乗について。

   $\begin{array}{}{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ =\left(\stackrel{-}{1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\stackrel{-}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)}\\ =\left(1\stackrel{-}{-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(1-\stackrel{-}{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)\\ =\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)\\ =1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}+\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\end{array}$

   よって、

   $\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|=1$

   のとき、

   $\begin{array}{}{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2=1+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ 1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2=1+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\end{array}$

   また、

   $\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|=1$

   のとき、

   $\begin{array}{}{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2={\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+1\\ |+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2={\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2+1\end{array}$

   よって、いずれの場合も、

   ${\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2={\left|1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|}^2$

   ゆえに、

   $\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|=\left|1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, Rational, sqrt

a = Rational(1, 2) + sqrt(3) / 2 * I
x, y = symbols('x, y', real=True)
b = x + y * I

l = abs(a - b)
r = abs(1 - a.conjugate() * b)
for t in [abs(a), a, b, l, r, l == r]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
1

1   √3⋅ⅈ
─ + ────
2    2  

x + ⅈ⋅y

   ________________________
  ╱  2        2            
╲╱  x  - x + y  - √3⋅y + 1 

   ________________________
  ╱  2        2            
╲╱  x  - x + y  - √3⋅y + 1 

True

$