2017年11月30日木曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、2(複素平面)、問題6.を取り組んでみる。


  1. 左辺の2乗について。

    α - β 2 = α - β α - β - = α - β α - - β - = α α - + β β - - α β - - α - β = α 2 + β 2 - α β - - α - β

    右辺の2乗について。

    1 - α - β 2 = 1 - α - β 1 - α - β - = 1 - α - β 1 - α - β - = 1 - α - β 1 - α β - = 1 - α - β - α β - + α - β α β - = 1 + α 2 β 2 - α β - - α - β

    よって、

    α = 1

    のとき、

    α 2 + β 2 = 1 + β 2 1 + α 2 β 2 = 1 + β 2

    また、

    β = 1

    のとき、

    α 2 + β 2 = α 2 + 1 | + α 2 β 2 = α 2 + 1

    よって、いずれの場合も、

    α - β 2 = 1 - α β - 2

    ゆえに、

    α - β = 1 - α β -

    が成り立つ。

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, Rational, sqrt

a = Rational(1, 2) + sqrt(3) / 2 * I
x, y = symbols('x, y', real=True)
b = x + y * I

l = abs(a - b)
r = abs(1 - a.conjugate() * b)
for t in [abs(a), a, b, l, r, l == r]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
1

1   √3⋅ⅈ
─ + ────
2    2  

x + ⅈ⋅y

   ________________________
  ╱  2        2            
╲╱  x  - x + y  - √3⋅y + 1 

   ________________________
  ╱  2        2            
╲╱  x  - x + y  - √3⋅y + 1 

True

$

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