数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(閉包、内部、等号)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題10.を取り組んでみる。

10. 
    $A^{ai}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^a$

    右辺は閉集合なので

    $A^{aia}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^a$

    両辺の内部を考える。

    $A^{aiai}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^{ai}$ $A^{aia}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->A^{ai}$

    右辺は開集合なので

    $A^{aiai}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->A^{ai}$

    よって

    $A^{aiai}=A^{ai}$ $A^{iai}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^{ia}$

    右辺は閉集合なので

    $A^{iaia}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A^{ia}$ $A^{ia}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->A^i$

    右辺は開集合なので

    $A^{iai}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->A^i$

    両区の閉包を考える。

    $A^{iaia}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->A^{ia}$

    よって

    $A^{iaia}=A^{ia}$

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Interval

print('10.')
A = Interval(0, 0) | Interval.Lopen(1, 2) | Interval.Ropen(2, 3)
B = Interval(0, 0) | Interval.Ropen(1, 2) | Interval.Lopen(2, 3)
XS = [A, B]

for X in XS:
    l1 = X.closure.interior.closure.interior
    r1 = X.closure.interior
    l2 = X.interior.closure.interior.closure
    r2 = X.interior.closure
    for t in [X, l1, r1, l1 == r1, l2, r2, l2 == r2]:
        pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py 
10.
{0} ∪ (1, 3)
(1, 3)
(1, 3)
True
[1, 3]
[1, 3]
True

{0} ∪ [1, 2) ∪ (2, 3]
(1, 3)
(1, 3)
True
[1, 3]
[1, 3]
True

$