数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(距離空間、和集合、境界、包含関係、等号)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   $\begin{array}{l}{\left(A\cup B\right)}^f\\ ={\left(A\cup B\right)}^a-{\left(A\cup B\right)}^i\\ =\left(A^a\cup B^a\right)-{\left(A\cup B\right)}^i\\ =\left(A^a\cup B^a\right)\cap {\left(A\cup B\right)}^{ic}\\ =\left(A^a\cap {\left(A\cup B\right)}^{ic}\right)\cup \left(B^a\cap {\left(A\cup B\right)}^{ic}\right)\\ =\left(A^a-{\left(A\cup B\right)}^i\right)\cup \left(B^a-{\left(A\cup B\right)}^i\right)\\ \subset \left(A^a-A^i\right)\cup \left(B^a-B^i\right)\\ =A^f\cup B^f\end{array}$

   よって、AとBの和集合の境界は、Aの境界とBの境界の和集合の部分集合である。(証明終)

   ちなみに統合が成り立たない例。

   実数上のユークリッド距離を考える。

   Aを開区間(0, 1)、Bを半開区間[1, 2)。

   実際に確認。

   $\begin{array}{l}{\left(A\cup B\right)}^f\\ ={\left(\left(0,1\right)\cup \left[1,2\right)\right)}^f\\ ={\left(0,2\right)}^f\\ =\left\{0,2\right\}\\ \\ A^f\cup B^f\\ ={\left(0,1\right)}^f\cup {\left(1,2\right)}^f\\ =\left\{0,1\right\}\cup \left\{1,2\right\}\\ =\left\{0,1,2\right\}\\ \\ {\left(A\cup B\right)}^f\ne A^f\cup B^f\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Interval

print('9.')
A = Interval.open(0, 1)
B1 = Interval.open(1, 2)
B2 = Interval.Ropen(1, 2)

for A0, B0 in [(A, B1), (A, B2)]:
    l = (A0 | B0).boundary
    r = A0.boundary | B0.boundary
    for t in [A0, B0, l, r, l == r]:
        pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
9.
(0, 1)
(1, 2)
{0, 1, 2}
{0, 1, 2}
True

(0, 1)
[1, 2)
{0, 2}
{0, 1, 2}
False

$