数学 - Python - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素数(共役、加法、乗法と除法)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、1(複素数)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   和、差の共役について。

   $\begin{array}{}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a+bi\\ \mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=c+di\\ a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{}\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\stackrel{-}{\left(a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->c\right)+\left(b\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->d\right)i}\\ =\left(a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->c\right)-\left(b\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->d\right)i\\ =\left(a-bi\right)\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\left(c-di\right)\\ =\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\end{array}$

   積の共役について。

   $\begin{array}{}\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\stackrel{-}{\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i}\\ =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\left(a-bi\right)\left(c-di\right)\\ =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}=\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\end{array}$

   商の共役について。

   $\begin{array}{}\frac{}{\left(\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}\\ =\stackrel{-}{\left(\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}\right)}\\ =\stackrel{-}{\left(\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{c^2+d^2}\right)}\\ =\stackrel{-}{\left(\frac{\left(ac+bd\right)+\left(-ad+bc\right)i}{c^2+d^2}\right)}\\ =\frac{\left(ac+bd\right)+{\left(ad-hc\right)}^i}{c^2+d^2}\end{array}$
   $\begin{array}{}\frac{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}\\ =\frac{a-bi}{c-di}\\ =\frac{\left(a-bi\right)\left(c+di\right)}{c^2+d^2}\\ =\frac{\left(ac+bd\right)+\left(ad-bc\right)i}{c^2+d^2}\end{array}$

   よって、

   $\stackrel{-}{\left(\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)}=\frac{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I

print('2.')
a, b = symbols('a, b')

nums = [((a + b).conjugate(), a.conjugate() + b.conjugate()),
        ((a - b).conjugate(), a.conjugate() - b.conjugate()),
        ((a * b).conjugate(), a.conjugate() * b.conjugate()),
        ((a / b).conjugate(), a.conjugate() / b.conjugate())]

for (x, y) in nums:
    for t in [x, y, x == y]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
_   _
a + b

_   _
a + b

True


_   _
a - b

_   _
a - b

True


_ _
a⋅b

_ _
a⋅b

True


_
a
─
_
b

_
a
─
_
b

True


$