数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 基本変形(ベクトルによってはられる部分空間の次元(R^3、3次元))

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、11(基本変形)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array})\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}0& \left(1-a^2\right)& \left(1-a\right)\\ 1& a& 1\\ 0& \left(1-a\right)& \left(a-1\right)\end{array})$

   $(\begin{array}{ccc}0& 1-a^2+1-a& 0\\ 1& a& 1\\ 0& 1-a& a-1\end{array})$

   $(\begin{array}{ccc}0& -a^2-a+2& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& a-1\end{array})$

   $(\begin{array}{ccc}0& -\left(a+2\right)\left(a-1\right)& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& a-1\end{array})$

   よって

   $a=1$

   のとき 1 次元、

   $a=-2$

   のとき2次元、

   $a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1,-2$

   のとき3次元となる。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
print('3.')
a = symbols('a', real=True)
M = Matrix([[a, 1, 1],
            [1, a, 1],
            [1, 1, a]])

for a0 in [1, -2]:
    print(M.subs({a: a0}).rank())

print(M.rank())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
1
2
3
$