2017年11月19日日曜日

学習環境

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう1つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法、問10.を取り組んでみる。


  1. A = ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 )
    A 2 = ( 1 2 3 0 1 2 0 0 1 )
    A 3 = ( 1 2 3 0 1 2 0 0 1 ) ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) = ( 1 3 6 0 1 3 0 0 1 )
    A 4 = ( 1 3 6 0 1 3 0 0 1 ) ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) = ( 1 4 10 0 1 4 0 0 1 )
    A 5 = ( 1 4 10 0 1 4 0 0 1 ) ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) = ( 1 5 15 0 1 5 0 0 1 )

    予想。

    A n = ( 1 n n n + 1 2 0 1 n 0 0 1 )

    予想が正しいかどうか確認。

    A = ( 1 1 1 + 1 2 1 1 1 0 0 1 ) = ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 )
    A n = A n - 1 · A = ( 1 n - 1 n - 1 · n 2 0 1 n - 1 0 0 1 ) ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) = ( 1 n 1 + n - 1 + n - 1 n 2 0 1 1 + n - 1 0 1 1 ) = ( 1 n n n + 1 2 0 1 n 0 1 1 )

    よって、 爀が法により、すべての正の整数に対して成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('問10')
A = Matrix([[1, 1, 1],
            [0, 1, 1],
            [0, 0, 1]])
n = symbols('n', integer=True, positive=True)

pprint(A ** n)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
問10
⎡      n⋅(n - 1)    ⎤
⎢1  n  ───────── + n⎥
⎢          2        ⎥
⎢                   ⎥
⎢0  1        n      ⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0        1      ⎦
$

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