数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 行列の乗法(累乗(べき乗)、正方行列(3×3行列)、予想、数学的帰納法による証明)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法、問10.を取り組んでみる。

10. 
    
    $A=(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array})$

    $A^2=(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array})$

    $A^3=(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\left)(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array})$

    $A^4=(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\left)(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=(\begin{array}{ccc}1& 4& 10\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array})$

    $A^5=(\begin{array}{ccc}1& 4& 10\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\left)(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=(\begin{array}{ccc}1& 5& 15\\ 0& 1& 5\\ 0& 0& 1\end{array})$

    予想。

    $A^n=(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array})$

    予想が正しいかどうか確認。

    $A=(\begin{array}{ccc}1& 1& \frac{1+1}{2}\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array})=(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array})$

    $\begin{array}{}{A}^n\\ =A^{n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\\ =(\begin{array}{ccc}1& n-1& \frac{\left(n-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->n}{2}\\ 0& 1& n-1\\ 0& 0& 1\end{array})\end{array}(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array})=(\begin{array}{ccc}1& n& 1+n-1+\frac{\left(n-1\right)n}{2}\\ 0& 1& 1+\left(n-1\right)\\ 0& 1& 1\end{array})\\ =(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 1& 1\end{array})$

    よって、 爀が法により、すべての正の整数に対して成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('問10')
A = Matrix([[1, 1, 1],
            [0, 1, 1],
            [0, 0, 1]])
n = symbols('n', integer=True, positive=True)

pprint(A ** n)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
問10
⎡      n⋅(n - 1)    ⎤
⎢1  n  ───────── + n⎥
⎢          2        ⎥
⎢                   ⎥
⎢0  1        n      ⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0        1      ⎦
$