数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 基本変形(行列の階数、行空間の1つの基底)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、11(基本変形)、問題2.を取り組んでみる。

2. 1. 
      
      $\begin{array}{}(\begin{array}{ccccc}0& 3& -4& -1& -2\\ 0& 0& -12& -3& -6\\ 0& -3& 4& 1& 2\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})\end{array}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccccc}0& 3& -4& -1& -2\\ 0& 0& -12& -3& -6\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})$

      行列の階数は3。

      行空間の基底の1つ。

      $\left(0,3,-4,-1,-2\right),\left(0,0,-12,-3,-6\right),\left(1,0,3,2,1\right)$
   2. 
      
      $\begin{array}{}(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& 0& -1& 0\end{array})\end{array}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array})$

      行列の階数は4。
      行空間の1つの基底。

      $\left(0,1,0,0,0\right),\left(-1,0,1,0,0\right),\left(0,0,0,1,0\right),\left(0,0,-1,0,1\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

print('2.')
MS = [Matrix([[2, 3, 2, 3, 0],
              [4, 9, 0, 5, -2],
              [-1, -3, 1, -1, 1],
              [1, 0, 3, 2, 1]]),
      Matrix([0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0,
              0, 0, -1, 0]).reshape(5, 5)]

for i, M in enumerate(MS):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(M)
    print(f'階数: {M.rank()}')
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
(a)
⎡2   3   2  3   0 ⎤
⎢                 ⎥
⎢4   9   0  5   -2⎥
⎢                 ⎥
⎢-1  -3  1  -1  1 ⎥
⎢                 ⎥
⎣1   0   3  2   1 ⎦
階数: 2

(b)
⎡0   1   0   0   0⎤
⎢                 ⎥
⎢-1  0   1   0   0⎥
⎢                 ⎥
⎢0   -1  0   1   0⎥
⎢                 ⎥
⎢0   0   -1  0   1⎥
⎢                 ⎥
⎣0   0   0   -1  0⎦
階数: 4

$