2017年11月30日木曜日

学習環境

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、1(集合の対等と濃度)、(A)集合の対等、問題7.を取り組んでみる。


  1. 集合 A における間係 R を

    a R b f a = f b

    と定める。

    このとき、 A の任意の元 a、 b、 c に対して

    f a = f a f a = f b f b = f a f a = f b f b = f c f a = f c

    が成り立つ。

    よって、関係 R は反射律、対称律、推移律を満たすので、同値関係である。

    また、写像 g を、

    g : A / R B g : C a f a

    と定めると、 B は A の同値関係してによる商集合から集合 B への全単射である。

    実際に確認。

    g c a = g c b f a = f b a R b C a = C b

    よって g は単射。

    また、 b を B の任意の元とするとき、 f は全射なので、ある A の元 a が存在して、

    f a = b

    よって、

    g c a = b

    となり、 g は全射である。

    ゆえに、 g は全単射である。

    以上より、

    A / R , B

    は対等である。
    (証明終)

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