数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(集積点全部の集合、閉集合、境界点)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題11.を取り組んでみる。

11. x を A'の任意の境界点とする。

    $\begin{array}{}\forall \; <!--\; for\; all\; -->\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->A\text{'}\left[x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(x;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->A\text{'}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->x_0\right]\\ x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{A-\left\{x_0\right\}}\\ x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->A\\ x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{A-\left\{x\right\}}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(x;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{A-\left\{x\right\}}\\ x_0\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->A\\ x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{A}\\ x_1\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(x_0;\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->A\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_1\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->x\\ x_1\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(x;\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->A\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_1\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->x\\ x_1\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{A-\left\{x\right\}}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->x_1\in \; <!--\; element\; of\; -->B\left(x;\frac{3}{2}\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->\stackrel{-}{A-\left\{x\right\}}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{}x\in \; <!--\; element\; of\; -->A\text{'}\\ A\text{'}=\stackrel{-}{A}\end{array}$

    以上より、 A'は閉集合である。（証明終）