2017年11月12日日曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題15.を取り組んでみる。

  1. 問題の2つの関数が距離関数であることについて。

    x , y , z n d 1 x , x = i = 1 n x i - x i = 0 d 1 x , y = 0 i = 1 n x i - y i = 0 x i = y i i = 1 , , n x = y d 1 x , y = i = 1 n x i - y i = i = 1 n y i - x i = d 1 y , x d 1 x , z = i = 1 n x i - z i = i = 1 n x i - y i + y i - z i i = 1 n x i - y i + y i - z i = i = 1 n x i - y i + i = 1 n y i - z i = d 1 x , y + d 1 y , z d 2 x , x = max x 1 - x 1 , , x n - x n = 0 d 2 x , y = max x 1 - y 1 , , x n - y n = max y 1 - x 1 , , y n - x n = d 2 y , x d 2 x , y = 0 max x 1 - y 1 , , x n - y n = 0 x i - y i = 0 i = 1 , , n d 2 x , y = 0 d 2 x , z = max x , - z 1 , , x n - z n = max x 1 - y 1 + y 1 - z 1 , , x n - y n + y n - z n max x 1 - y 1 + y 1 - z 1 , , x n - y n + y h - z n max x 1 - y 1 , , x n - y n + max y 1 - z 1 , , y n - z n = d 2 x , y + d 2 y , z

    よって2つの関数は距離関数である。

    d をユークリッド距離関数とする。

    a を

    n

    の 任意の元、

    ε

    を任意の正の数とする。

    i = 1 n x i - y i 2 = i = 1 n x i - y i 2 i = 1 n x i - y i 2 i = 1 n x i - y i 2 i = 1 n x i - y i d x , y d 1 x , y

    より、

    d a , ε d 1 a , ε B d a ; ε B d 1 a ; ε

    また、ある

    δ 1 > 0

    が存在して

    B 1 a ; δ B a ; ε

    よって、

    δ = min δ 1 , ε

    とおけは"、

    B 1 a ; δ B a ; ε B a ; δ B 1 a ; ε

    ゆえ に、前間の問14より、この距離関数はユークリッド距離関数と位相的に同値である。

    また、

    δ = min x , - y 1 , , x n - y n , ε

    とおけば、

    B a ; δ B 2 a ; ε B 2 a ; δ B a ; ε

    が成り立つので、 もう一方の距離関数もユークリッド距離関数と位相的に同値である。(証明終)

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