## 2017年11月12日日曜日

### 数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(距離関数の定義、ユークリッド距離関数、色々な距離関数、位相的同値性)

1. 問題の2つの関数が距離関数であることについて。

$\begin{array}{}x,y,z\in {\text{ℝ}}^{n}\\ {d}_{1}\left(x,x\right)=\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{x}_{i}\right|=0\\ {d}_{1}\left(x,y\right)=0⇔\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|=0⇔{x}_{i}={y}_{i}\left(i=1,\dots ,n\right)\\ ⇔x=y\\ {d}_{1}\left(x,y\right)=\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|{y}_{i}-{x}_{i}\right|={d}_{1}\left(y,x\right)\\ {d}_{1}\left(x,z\right)=\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{z}_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{y}_{i}+{y}_{i}-{z}_{i}\right|\\ \le \sum _{i=1}^{n}\left(\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|+\left|{y}_{i}-{z}_{i}\right|\right)\\ =\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|+\sum _{i=1}^{n}\left|{y}_{i}-{z}_{i}\right|\\ ={d}_{1}\left(x,y\right)+{d}_{1}\left(y,z\right)\\ {d}_{2}\left(x,x\right)=\mathrm{max}\left\{\left|{x}_{1}-{x}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{x}_{n}\right|\right\}=0\\ {d}_{2}\left(x,y\right)=\mathrm{max}\left\{\left|{x}_{1}-{y}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{y}_{n}\right|\right\}\\ =\mathrm{max}\left\{\left|{y}_{1}-{x}_{1}\right|,\dots ,\left|{y}_{n}-{x}_{n}\right|\right\}\\ ={d}_{2}\left(y,x\right)\\ {d}_{2}\left(x,y\right)=0⇔\mathrm{max}\left\{\left|{x}_{1}-{y}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{y}_{n}\right|\right\}=0\\ ⇔\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|=0\left(i=1,\dots ,n\right)\\ ⇔{d}_{2}\left(x,y\right)=0\\ {d}_{2}\left(x,z\right)=\mathrm{max}\left\{\left|x,-{z}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{z}_{n}\right|\right\}\\ =\mathrm{max}\left\{\left|{x}_{1}-{y}_{1}+{y}_{1}-{z}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{y}_{n}+{y}_{n}-{z}_{n}\right|\right\}\\ \le \mathrm{max}\left\{\left|{x}_{1}-{y}_{1}\right|+\left|{y}_{1}-{z}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{y}_{n}\right|+\left|{y}_{h}-{z}_{n}\right|\right\}\\ \le \mathrm{max}\left\{\left|{x}_{1}-{y}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n-}{y}_{n}\right|\right\}+\mathrm{max}\left\{\left|{y}_{1}-{z}_{1}\right|,\dots ,\left|{y}_{n}-{z}_{n}\right|\right\}\\ ={d}_{2}\left(x,y\right)+{d}_{2}\left(y,z\right)\end{array}$

よって2つの関数は距離関数である。

d をユークリッド距離関数とする。

a を

${\text{ℝ}}^{n}$

の 任意の元、

$\epsilon$

を任意の正の数とする。

$\begin{array}{}\sum _{i=1}^{n}{\left({x}_{i}-{y}_{i}\right)}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|}^{2}\le {\left(\sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|\right)}^{2}\\ \sqrt{\sum _{i=1}^{n}{\left({x}_{i}-{y}_{i}\right)}^{2}}\le \sum _{i=1}^{n}\left|{x}_{i}-{y}_{i}\right|\\ d\left(x,y\right)\le {d}_{1}\left(x,y\right)\end{array}$

より、

$\begin{array}{}d\left(a,\epsilon \right)\le {d}_{1}\left(a,\epsilon \right)\\ {B}_{d}\left(a;\epsilon \right)\subset {B}_{{d}_{1}}\left(a;\epsilon \right)\end{array}$

また、ある

${\delta }_{1}>0$

が存在して

${B}_{1}\left(a;\delta \right)\subset B\left(a;\epsilon \right)$

よって、

$\delta =\mathrm{min}\left\{{\delta }_{1},\epsilon \right\}$

とおけは"、

${B}_{1}\left(a;\delta \right)\subset B\left(a;\epsilon \right)\wedge B\left(a;\delta \right)\subset {B}_{1}\left(a;\epsilon \right)$

ゆえ に、前間の問14より、この距離関数はユークリッド距離関数と位相的に同値である。

また、

$\delta =\mathrm{min}\left\{\left|x,-{y}_{1}\right|,\dots ,\left|{x}_{n}-{y}_{n}\right|,\epsilon \right\}$

とおけば、

$B\left(a;\delta \right)\subset {B}_{2}\left(a;\epsilon \right)\wedge {B}_{2}\left(a;\delta \right)\subset B\left(a;\epsilon \right)$

が成り立つので、 もう一方の距離関数もユークリッド距離関数と位相的に同値である。（証明終）