数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(距離関数の定義、ユークリッド距離関数、色々な距離関数、位相的同値性)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題15.を取り組んでみる。

15. 問題の2つの関数が距離関数であることについて。

    $\begin{array}{}x,y,z\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n\\ d_1\left(x,x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-x_i\right|=0\\ d_1\left(x,y\right)=0\iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-y_i\right|=0\iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->x_i=y_i\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->x=y\\ d_1\left(x,y\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-y_i\right|=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|y_i-x_i\right|=d_1\left(y,x\right)\\ d_1\left(x,z\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-z_i\right|=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-y_i+y_i-z_i\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\left|x_i-y_i\right|+\left|y_i-z_i\right|\right)\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-y_i\right|+\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|y_i-z_i\right|\\ =d_1\left(x,y\right)+d_1\left(y,z\right)\\ d_2\left(x,x\right)=\max \left\{\left|x_1-x_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-x_n\right|\right\}=0\\ d_2\left(x,y\right)=\max \left\{\left|x_1-y_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-y_n\right|\right\}\\ =\max \left\{\left|y_1-x_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|y_n-x_n\right|\right\}\\ =d_2\left(y,x\right)\\ d_2\left(x,y\right)=0\iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\max \left\{\left|x_1-y_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-y_n\right|\right\}=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\left|x_i-y_i\right|=0\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->d_2\left(x,y\right)=0\\ d_2\left(x,z\right)=\max \left\{\left|x,-z_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-z_n\right|\right\}\\ =\max \left\{\left|x_1-y_1+y_1-z_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-y_n+y_n-z_n\right|\right\}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\max \left\{\left|x_1-y_1\right|+\left|y_1-z_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-y_n\right|+\left|y_h-z_n\right|\right\}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\max \left\{\left|x_1-y_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_{n-}{y}_n\right|\right\}+\max \left\{\left|y_1-z_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|y_n-z_n\right|\right\}\\ =d_2\left(x,y\right)+d_2\left(y,z\right)\end{array}$

    よって2つの関数は距離関数である。

    d をユークリッド距離関数とする。

    a を

    ${\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n$

    の 任意の元、

    $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

    を任意の正の数とする。

    $\begin{array}{}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left(x_i-y_i\right)}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left|x_i-y_i\right|}^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-y_i\right|\right)}^2\\ \sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left(x_i-y_i\right)}^2}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|x_i-y_i\right|\\ d\left(x,y\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->d_1\left(x,y\right)\end{array}$

    より、

    $\begin{array}{}d\left(a,\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->d_1\left(a,\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\\ B_d\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B_{d_1}\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\end{array}$

    また、ある

    ${\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_1>0$

    が存在して

    $B_1\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    よって、

    $\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}=\min \left\{{\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_1,\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right\}$

    とおけは"、

    $B_1\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->B\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B_1\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    ゆえ に、前間の問14より、この距離関数はユークリッド距離関数と位相的に同値である。

    また、

    $\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}=\min \left\{\left|x,-y_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|x_n-y_n\right|,\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right\}$

    とおけば、

    $B\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B_2\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->B_2\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    が成り立つので、 もう一方の距離関数もユークリッド距離関数と位相的に同値である。（証明終）