2017年11月1日水曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題5.を取り組んでみる。

  1. xを開集合AとBの閉包の共通部分の任意の点とする。

    xA B ¯ xAx B ¯

    xはBの閉包の元、触点であるから、任意の正の整数ε0に対して0B(x;ε0)とBの共通部分は空ではない。

    B( x; ϵ 0 )Bϕ

    xは開集合Aの元なので、ある正の数δが存在して、B(x;δ)はAの部分集合である。

    B( x;δ )A

    εを任意の正の数とする。

    εとδの小さい方の数をδ0とする。

    B(x;δ0)はB(x;ε)の部分集合である。

    B( x; δ 0 )B( x;ϵ )

    また、B(x;δ0)はB(x;δ)の部分集合でもある。

    B( x; δ 0 )B( x;δ )

    B(x;δ0)とBの共通部分は空ではないので、共通部分の1つの元をx0とする。

    x0はB(x;δ0)の元なのでB(x;ε)の元である。

    x0はB(x;δ0)の元なのでB(x;δの元)の元、すなわちAの元である。

    以上より、x0はB(x;ε)とBとAの共通部分の元である。

    x 0 B( x;ϵ )AB=B( x;ϵ )( AB ) B( x;ϵ )( AB )ϕ

    よって、xはAとBの共通部分の触点である。

    x AB ¯

    ゆえに、問題の包含関係が成り立つ。

    A B ¯ AB ¯

    (証明終)

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