数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(同じ集合の2つの距離函数、距離空間、開集合系、位相的に同値、必要十分条件)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題14.を取り組んでみる。

14. 必要条件であることについて。

    a をメの任意の点、

    $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

    を任意の正の数とする。

    このとき、

    $B_1\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    は距離関数

    $d_1$

    の意味での開球だから、

    $\left(X,d_1\right)$

    の開集合である。

    この開集合に対応する

    $\left(X,d_2\right)$

    の開集合をOとすると、

    $O=B_1\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    また、 ある正の数

    ${\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_1$

    が存在して、

    $B_2\left(a;{\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_1\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

    よって、

    $B_2\left(a;{\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_1\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

    $B_1\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B_2\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    の場合も同様して、ある正の数

    ${\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_2$

    が存在する。

    よって、

    $\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}=\min \left\{{\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_1,{\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_2\right\}$

    とおけば、

    $B_2\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->B_1\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B_2\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    が成り立つ。

    十分条件であることについて。

    O を 距離空間

    $\left(X,d_1\right)$

    の任意の開集合とする。

    a をO の任意の点とする。
    集合は開球の和集合として表されるので、1つの開球を

    $B_1\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

    とする。

    仮定より、 ある

    $\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}>0$

    が存在して

    $\begin{array}{}{B}_2\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B_1\left(a;r\right)\\ B_2\left(a;\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O\end{array}$

    よって、 Oは距離空間

    $\left(X,d_2\right)$

    の開集合である。

    同様に、O を距離空間

    $\left(X,d_2\right)$

    の開集合とするとき、 O は距離空間

    $\left(X,d_1\right)$

    の開集合となる。

    よって 2つの距離開放に関する2つの開集合は 1対1に対応するので一致する。

    以上より、2つの距離関数が位相的に同値であるための必要十分条件である。（証明終）