数学 - Python - 面積、体積、長さ - 積分法の応用 – 簡単な微分方程式 - 変数分離形の微分方程式(初期条件、解、一意性定理)

数学読本〈5〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.4(簡単な微分方程式)、変数分離形の微分方程式、問41.を取り組んでみる。

41. 微分方程式の一般解。

    $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\sqrt{y}\\ y\ne 0\\ \frac{dy}{\sqrt{y}}=dx\\ {\displaystyle \int y^{-\frac{1}{2}}dy}={\displaystyle \int dx}\\ 2y^{\frac{1}{2}}=x+C_1\\ y^{\frac{1}{2}}=\frac{x}{2}+C\\ y={\left(\frac{x}{2}+C\right)}^2\end{array}$

    y = 0のとき。

    $\begin{array}{l}\sqrt{0}=0\\ \frac{d}{dx}0=\sqrt{0}\end{array}$

    よって、y = 0のとき問題の微分方程式は成り立つ。

    初期条件。

    $\begin{array}{l}0={\left(\frac{0}{2}+C\right)}^2\\ C^2=0\\ C=0\end{array}$

    よって、1つの解。

    $\begin{array}{l}y={\left(\frac{x}{2}+0\right)}^2\\ =\frac{x^2}{4}\end{array}$

    また、y = 0も解。

    一意性定理が成り立たないことについて。

    関数f(x)をx = 0のとき0、xが正の実数の場合はf(x) = (x / 2 + 1)^2と定める。

    xが0の場合。

    $\begin{array}{l}x=0\\ f\text{'}\left(x\right)=0\\ \sqrt{0}=0\\ f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)}\end{array}$

    xが正の実数の場合。

    $\begin{array}{l}x>0\\ f\text{'}\left(x\right)=2\left(\frac{x}{2}+1\right)·\frac{1}{2}\\ =\frac{x}{2}+1\\ \\ \sqrt{{\left(\frac{x}{2}+1\right)}^2}\\ =\frac{x}{2}+1\\ \\ f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)}\end{array}$

    よって、微分方程式の解となる。

    この解について。

    $x=0,f\left(0\right)=0$

    よって、x = 0 のとき y = 0となる。

    以上より、fは問題の微分方程式で1つの初期条件を与えられた場合の解の1つである。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, exp, sqrt

print('40.')
x, y, D = symbols('x y D')
ys = [x ** 2 / 4,
      0]

eq = D - sqrt(y)

for y0 in ys:
    D0 = Derivative(y0, x, 1)
    for t in [y0, eq.subs({D: D0}), eq.subs({x: 0, y: 0, D: D0.doit()}) == 0]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample41.py
40.
 2
x 
──
4 

        ⎛ 2⎞
      d ⎜x ⎟
-√y + ──⎜──⎟
      dx⎝4 ⎠

True


0

      d    
-√y + ──(0)
      dx   

True


$