数学 - Python - 面積、体積、長さ - 積分法の応用 – 簡単な微分方程式 - 変数分離形の微分方程式(解法、不定積分、初期条件)

数学読本〈5〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.4(簡単な微分方程式)、変数分離形の微分方程式、問40.を取り組んでみる。

40. 1. 
       

       微分方程式の一般解。

       $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=x\left(y-1\right)\\ y\ne 1\\ \frac{dy}{y-1}=xdx\\ {\displaystyle \int \frac{dy}{y-1}}={\displaystyle \int xdx}\\ \log \left|y-1\right|=\frac{1}{2}{x}^2+C_1\\ y-1=\pm e^{\frac{1}{2}{x}^2+C_1}\\ y=\pm e^{\frac{1}{2}{x}^2}{e}^{C_1}+1\\ y=C{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}+1\end{array}$

       初期条件より。

       $\begin{array}{l}4=C{e}^{\frac{1}{2}0}+1\\ 4=C+1\\ C=3\end{array}$

       よって求める解。

       $y=3e^{\frac{1}{2}{x}^2}+1$

    2. 微分方程式の一般解。

       $\begin{array}{l}\left(x^2+1\right)\frac{dy}{dx}=2xy\\ y\ne 0\\ \frac{dy}{y}=\frac{2x}{x^2+1}\\ {\displaystyle \int \frac{dy}{y}}={\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}dx}\\ \log \left|y\right|=\log \left|x^2+1\right|+C_1\\ \log \left|y\right|=\log \left|x^2+1\right|+\log e^{C_1}\\ \log \left|y\right|=\log \left(\left|x^2+1\right|e^{C_1}\right)\\ y=\left|x^2+1\right|C_2\\ y=\pm C_2\left(x^2+1\right)\\ y=C\left(x^2+1\right)\end{array}$

       初期条件より。

       $\begin{array}{l}25=C\left(2^2+1\right)\\ 25=C5\\ C=5\end{array}$

       よって、求める解。

       $y=5\left(x^2+1\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, exp, sqrt

print('40.')
x, y, D = symbols('x y D')
ys = [(3 * exp(x ** 2 / 2) + 1, 0, 4),
      (5 * (x ** 2 + 1), 2, 25)]

eqs = [D - x * (y - 1),
       (x ** 2 + 1) * D - 2 * x * y]


for i, ((y0, x1, y1), eq) in enumerate(zip(ys, eqs), 1):
    print(f'({i})')
    D0 = Derivative(y0, x, 1)
    for t in [y0, eq.subs({D: D0}), eq.subs({x: x1, y: y1, D: D0.doit()})]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample40.py
40.
(1)
    2    
   x     
   ──    
   2     
3⋅ℯ   + 1

               ⎛    2    ⎞
               ⎜   x     ⎟
               ⎜   ──    ⎟
             d ⎜   2     ⎟
-x⋅(y - 1) + ──⎝3⋅ℯ   + 1⎠
             dx           

0


(2)
   2    
5⋅x  + 5

         ⎛ 2    ⎞ d ⎛   2    ⎞
-2⋅x⋅y + ⎝x  + 1⎠⋅──⎝5⋅x  + 5⎠
                  dx          

0


$