数学 - Python - 集合論 - 集合算 - 関係、同値関係、商集合(同値関係の和集合と共通部分)

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.8(関係、同値関係、商集合)の練習問題11.を取り組んでみる。

11. • 1. 反射律。

         $\begin{array}{l}\left(x,x\right)\in X^2\\ xRs\wedge xSx\\ \left(x,x\right)\in R\cap S\end{array}$

      2. 対称律。

         $\begin{array}{l}\left(x,y\right)\in X^2\\ \left(x,y\right)\in R\cap S\\ \iff xRy\wedge xSy\\ \Rightarrow yRx\wedge ySx\\ \iff \left(y,x\right)\in R\cap S\end{array}$

      3. 推移律。

         $\begin{array}{l}\left(x,y\right),\left(y,z\right)\in X^2\\ \left(x,y\right)\in R\cap S\wedge \left(y,z\right)\in R\cap S\\ \iff \left(xRy\wedge xSy\right)\wedge \left(yRz\wedge ySz\right)\\ \Rightarrow \left(xRy\wedge yRz\right)\wedge \left(xSy\wedge ySz\right)\\ \Rightarrow xRz\wedge xSz\\ \iff \left(x,z\right)\in R\cap S\end{array}$

      よって、2つの同値関係の共通部分は同値関係である。

    • 推移律について。

      $\begin{array}{l}\left(x,y\right),\left(y,z\right)\in X^2\\ \left(x,y\right)\in R\cup S\wedge \left(y,z\right)\in R\cup S\\ \iff \left(xRy\vee xSy\right)\wedge \left(yRz\vee ySz\right)\end{array}$

      次のことを満たすx、y、zについて、上記の条件は成り立つ。

      $xRy\wedge ySz\wedge \neg yRz\wedge \neg xSy$

      しかし、xRzまたはxSzは成り立たない。

      よって同値関係R、Sの和集合は一般に同値関係ではない。

      具体的な集合で考える。

      Xを実数すべての集合とし、Rを関係 x < y、Sを関係 x > yとする。

      x = 1、y = 2、z = 1とする。

      x < y、y > z が成り立つ。

      $\left(x,y\right)\in R\cup S\wedge \left(y,z\right)\in R\cup S$

      このとき、x = zなので、x < y、x > z は両方とも成り立たない。

      $\left(x,z\right)\notin R\cup S$

      このことから、同値関係の和集合は一般に同値関係ではないことがわかる。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from matplotlib_venn import venn3_unweighted
import matplotlib.pyplot as plt

from sympy import pprint, FiniteSet

X = FiniteSet(*range(10))
R = FiniteSet(*range(5))
S = FiniteSet(*range(1, 6))

for X in [X, R, S, R & S, R | S]:
    pprint(X)
    print()

venn3_unweighted(subsets=(X, R, S))
plt.savefig('sample11.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3, 4}

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

$