数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 逆関数 - 逆正接関数(ヘリコブター、速度、高さ、観測者、視角、変化率)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第7章(逆関数)、4(逆正接関数)、練習問題29.を取り組んでみる。

29. 
    

    時間をt秒、ヘリコプターの地上の高さをxメートルとする。

    $\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=5\\ \tan \theta =\frac{x}{250}\\ \theta =\arctan \frac{x}{250}\\ \frac{d\theta }{dx}=\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{250}\right)}^2}·\frac{1}{250}\\ \\ \frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{dx}\frac{dx}{dt}\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{250}\right)}^2}·\frac{1}{250}·5\\ \\ x=200\\ \frac{1}{1+{\left(\frac{200}{250}\right)}^2}·\frac{1}{250}·5\\ =\frac{5}{250+\frac{{200}^2}{250}}\\ =\frac{5·250}{{250}^2+{200}^2}\\ =\frac{5^3}{250·25+200·20}\\ =\frac{5}{50·5+40·4}\\ =\frac{1}{50+8·4}\\ =\frac{1}{82}\left(ラジアン/秒\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

from sympy import pprint, symbols, atan, Derivative

print('29.')
t, x = symbols('t x')
Θ = atan(x / 250)
Dx = Derivative(Θ, x, 1)
Dt = Dx * 5
for t in [Dt, Dt.doit(), Dt.doit().subs({x:200})]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample29.py
29.
  d ⎛    ⎛ x ⎞⎞
5⋅──⎜atan⎜───⎟⎟
  dx⎝    ⎝250⎠⎠

      1       
──────────────
   ⎛   2     ⎞
   ⎜  x      ⎟
50⋅⎜───── + 1⎟
   ⎝62500    ⎠

1/82

$