数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(n-組の加法と乗法、共役、内積の定義とその性質)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題6.を取り組んでみる。

6. 1. 
      $\begin{array}{l}\langle A,B\rangle ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\beta }_k}}\\ \\ \overline{\langle B,A\rangle }\\ =\overline{{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\beta }_k\overline{{\alpha }_k}}}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\overline{{\beta }_k}{\alpha }_k}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\beta }_k}}\\ \\ \langle A,B\rangle =\overline{\langle B,A\rangle }\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}\langle A,B+C\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\beta }_k+{\gamma }_k}}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\left(\overline{{\beta }_k}+\overline{{\gamma }_k}\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\left({\alpha }_k\overline{{\beta }_k}+{\alpha }_k\overline{{\gamma }_k}\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\beta }_k}+{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\gamma }_k}}}\\ =\langle A,B\rangle +\langle A,C\rangle \end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}\langle \alpha A,B\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\alpha {\alpha }_k\overline{{\beta }_k}}\\ =\alpha {\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\beta }_k}}\\ =\alpha \langle A,B\rangle \\ \\ \langle A,\alpha B\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{\alpha {\beta }_k}}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{\alpha }\overline{{\beta }_k}}\\ =\overline{\alpha }{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\beta }_k}}\\ =\overline{\alpha }\langle A,B\rangle \end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}A=O\\ \langle A,A\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\alpha }_k}}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}0\overline{0}}\\ =0\\ \\ A\ne O\\ \langle A,A\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overline{{\alpha }_k}}\\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left|{\alpha }_k\right|}^2}\\ >0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I
import functools
print('6.')
a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4, a5, b5, a6, b6 = symbols(
    'a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4 a5 b5 a6 b6', real=True)
A = [a1 + b1 * I, a2 + b2 * I]
B = [a3 + b3 * I, a4 + b4 * I]
C = [a5 + b5 * I, a6 + b6 * I]
a = symbols('a')


def dot(A, B):
    return functools.reduce(
        lambda x, y: x + y,
        [a * b.conjugate() for a, b in zip(A, B)]
    )


def add(A, B):
    return [x + y for x, y in zip(A, B)]


def scalarMul(a, A):
    return [a * x for x in A]

for t in [A, B, C]:
    pprint(t)
    print()

for i, (l, r) in enumerate(
        [(dot(A, B), dot(B, A).conjugate()),
         (dot(A, add(B, C)), dot(A, B) + dot(A, C)),
         (dot(scalarMul(a, A), B), a * dot(A, B)),
         (dot(A, scalarMul(a, B)), a.conjugate() * dot(A, B))], 1):
    print(f'({i})')
    for t in [l, r, l.expand() == r.expand()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

A = [0, 0]
print(dot(A, A))

A = [I, 0]
print(dot(A, A))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
6.
[a₁ + ⅈ⋅b₁, a₂ + ⅈ⋅b₂]

[a₃ + ⅈ⋅b₃, a₄ + ⅈ⋅b₄]

[a₅ + ⅈ⋅b₅, a₆ + ⅈ⋅b₆]

(1)
(a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃) + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄)

(a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃) + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄)

True


(2)
(a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ + a₅ - ⅈ⋅b₃ - ⅈ⋅b₅) + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ + a₆ - ⅈ⋅b₄ - ⅈ⋅b₆)

(a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃) + (a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₅ - ⅈ⋅b₅) + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄) + 
(a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₆ - ⅈ⋅b₆)

True


(3)
a⋅(a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃) + a⋅(a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄)

a⋅((a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃) + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄))

True


(4)
                        _                           _
(a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃)⋅a + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄)⋅a

                                                    _
((a₁ + ⅈ⋅b₁)⋅(a₃ - ⅈ⋅b₃) + (a₂ + ⅈ⋅b₂)⋅(a₄ - ⅈ⋅b₄))⋅a

True


0
1
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