数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(4次元、パラメーター方程式、距離、点と直線の距離、垂直、スカラー積(内積、ドット積))

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題10.を取り組んでみる。

10. 
    $\begin{array}{l}L:X=P+tA\\ \\ \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(1,2,3,4\right)+t\left(1,1,1,1\right)\\ \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(1+t,2+t,3+t,4+t\right)\end{array}$
    1. 
       $\begin{array}{l}\sqrt{{\left(\left(1+t\right)-4\right)}^2+{\left(\left(2+t\right)-3\right)}^2+{\left(\left(3+t\right)-2\right)}^2+{\left(\left(4+t\right)-1\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(t-3\right)}^2+{\left(t-1\right)}^2+{\left(t+1\right)}^2+{\left(t+3\right)}^2}\\ =\sqrt{4t^4+20}\\ =2\sqrt{t^4+5}\end{array}$
    2. 
       

       t = 0の時すなわちX_0 = (1, 2, 3, 4) の時距離が最小値をとり、その値は2√5。

    3. 
       $\begin{array}{l}{X}_0-Q\\ =\left(1,2,3,4\right)-\left(4,3,2,1\right)\\ =\left(-3,-1,1,3\right)\\ \\ \left(X_0-Q\right)·\left(1,1,1,1\right)\\ =\left(-3,-1,1,3\right)·\left(1,1,1,1\right)\\ =-3-1+1+3\\ =0\end{array}$

       よって直線に垂直である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('10.')
P = Matrix([1, 2, 3, 4])
Q = Matrix([4, 3, 2, 1])
A = Matrix([1, 1, 1, 1])
t = symbols('t', real=True)
X = P + t * A

for t in [P, Q, A, X]:
    pprint(t.T)
    print()

print('(a)')
pprint((Q - X).norm())
pprint((Q - X).norm().expand())
pprint((Q - X).norm().expand().factor())

print('(b)')
X0 = P
pprint((Q - X0).norm())

print('(c)')
pprint((X0 - Q).dot(A))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
10.
[1  2  3  4]

[4  3  2  1]

[1  1  1  1]

[t + 1  t + 2  t + 3  t + 4]

(a)
   ___________________________________________
  ╱        2          2          2          2 
╲╱  (t - 3)  + (t - 1)  + (t + 1)  + (t + 3)  
   ___________
  ╱    2      
╲╱  4⋅t  + 20 
     ________
    ╱  2     
2⋅╲╱  t  + 5 
(b)
2⋅√5
(c)
0
$