数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(2平面の交線に平行なベクトル、法線ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題12、13.を取り組んでみる。

12. 
    

    2平面の法線ベクトルはそれぞれ、(2, -1, 1)、(3, 1, 1)。この2つのベクトルと垂直なベクトルを求める。

    $\begin{array}{l}\left(2,-1,1\right)·\left(x,y,z\right)=0\\ \left(3,1,1\right)·\left(x,y,z\right)=0\\ \\ 2x-y+z=0\\ 3x+y+z=0\\ \\ x+2y=0\\ x=-2y\\ \\ -4y-y+z=0\\ z=5y\\ \\ \left(-2y,y,5y\right)\\ =y\left(-2,1,5\right)\end{array}$

    よって、求める問題の2平面の交線に平行なベクトルはt(-2, 1, 5)。

13. 
    

    2平面の法線ベクトルはそれぞれ、(2, 1, 5)、(3, -2, 1)。この2つのベクトルと垂直なベクトルを求める。

    $\begin{array}{l}\left(2,1,5\right)·\left(x,y,z\right)=0\\ \left(3,-2,1\right)·\left(x,y,z\right)=0\\ \\ 2x+y+5z=0\\ 3x-2y+z=0\\ \\ 7x+11z=0\\ z=-\frac{7}{11}x\\ \\ y=-2x-5z\\ =-2x+\frac{35}{11}x\\ =\frac{13}{11}x\\ \\ \left(x,\frac{13}{11}x,-\frac{7}{11}x\right)\\ =\frac{x}{11}\left(11,13,-7\right)\end{array}$

    よって求める問題の2平面の交線に平行なベクトルは。t(11, 13, -7)。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

a = [((2, -1, 1), (3, 1, 1)),
     ((2, 1, 5), (3, -2, 1))]

x1, x2, x3 = symbols('x1 x2 x3')
X = Matrix([x1, x2, x3])

for i, (A, B) in enumerate(a, 12):
    print(f'{i}.')
    A = Matrix(A)
    B = Matrix(B)
    pprint(solve((A.dot(X), B.dot(X)), dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample12.py
12.
⎡⎧    -2⋅x₃       x₃⎫⎤
⎢⎨x₁: ──────, x₂: ──⎬⎥
⎣⎩      5         5 ⎭⎦

13.
⎡⎧    -11⋅x₃       -13⋅x₃ ⎫⎤
⎢⎨x₁: ───────, x₂: ───────⎬⎥
⎣⎩       7            7   ⎭⎦

$