数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(n × n行列、可換、n次の単位行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題10.を取り組んでみる。

10. 
    

    行列Aの成分表示。

    $A=\left(a_{ij}\right)$

    行列AをEijで表す。

    $A={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{i=j}^n{a}_{ij}{E}_{ij}}\right)}$

    問題の仮定より次のことが成り立つ。

    $\begin{array}{l}1\le k\le n,1\le l\le n\\ A{E}_{kl}=E_{kl}A\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{ik}{E}_{il}}={\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_{lj}{E}_{kj}}\end{array}$

    このことから、行列Aの各成分について考える。

    $\begin{array}{l}1\le k\le n,1\le l\le n\\ A{E}_{kl}=E_{kl}A\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{ik}{E}_{il}}={\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_{lj}{E}_{kj}}\\ \\ i\ne k\\ a_{ik}=0\\ \\ j\ne l\\ a_{lj}=0\\ \\ i=k\wedge j=l\\ a_{kk}=a_{ll}\end{array}$

    よって次のように問題のことが成り立つ。

    $\begin{array}{l}1\le k\le n\\ c=a_{kk}\\ A=c{I}_n\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import random

print('10.')
A = Matrix(symbols('a11 a12 a21 a22')).reshape(2, 2)
pprint(A)
for _ in range(5):
    XS = [Matrix([random.randrange(10) for _ in range(4)]).reshape(2, 2)
          for _ in range(10)]
    for X in XS:
        pprint(X)
        print()
    pprint(solve([X * A - A * X for X in XS]))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
10.
⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦
⎡5  7⎤
⎢    ⎥
⎣1  7⎦

⎡7  4⎤
⎢    ⎥
⎣9  3⎦

⎡6  6⎤
⎢    ⎥
⎣4  9⎦

⎡4  3⎤
⎢    ⎥
⎣6  6⎦

⎡4  9⎤
⎢    ⎥
⎣9  5⎦

⎡3  4⎤
⎢    ⎥
⎣9  1⎦

⎡5  1⎤
⎢    ⎥
⎣7  9⎦

⎡0  6⎤
⎢    ⎥
⎣1  3⎦

⎡2  5⎤
⎢    ⎥
⎣8  3⎦

⎡0  9⎤
⎢    ⎥
⎣9  8⎦

{a₁₁: a₂₂, a₁₂: 0, a₂₁: 0}
⎡7  3⎤
⎢    ⎥
⎣7  2⎦

⎡7  2⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡2  2⎤
⎢    ⎥
⎣6  5⎦

⎡3  9⎤
⎢    ⎥
⎣6  7⎦

⎡8  3⎤
⎢    ⎥
⎣0  6⎦

⎡7  2⎤
⎢    ⎥
⎣2  6⎦

⎡7  9⎤
⎢    ⎥
⎣6  9⎦

⎡1  9⎤
⎢    ⎥
⎣4  3⎦

⎡7  3⎤
⎢    ⎥
⎣5  9⎦

⎡7  5⎤
⎢    ⎥
⎣5  6⎦

{a₁₁: a₂₂, a₁₂: 0, a₂₁: 0}
⎡0  4⎤
⎢    ⎥
⎣7  3⎦

⎡5  3⎤
⎢    ⎥
⎣3  2⎦

⎡4  3⎤
⎢    ⎥
⎣1  7⎦

⎡9  8⎤
⎢    ⎥
⎣1  2⎦

⎡1  1⎤
⎢    ⎥
⎣5  4⎦

⎡2  9⎤
⎢    ⎥
⎣8  8⎦

⎡7  8⎤
⎢    ⎥
⎣3  5⎦

⎡0  4⎤
⎢    ⎥
⎣8  0⎦

⎡6  6⎤
⎢    ⎥
⎣9  1⎦

⎡5  0⎤
⎢    ⎥
⎣5  9⎦

{a₁₁: a₂₂, a₁₂: 0, a₂₁: 0}
⎡2  9⎤
⎢    ⎥
⎣2  6⎦

⎡0  7⎤
⎢    ⎥
⎣1  5⎦

⎡0  6⎤
⎢    ⎥
⎣9  7⎦

⎡9  3⎤
⎢    ⎥
⎣8  6⎦

⎡5  9⎤
⎢    ⎥
⎣7  2⎦

⎡9  6⎤
⎢    ⎥
⎣3  5⎦

⎡2  6⎤
⎢    ⎥
⎣4  7⎦

⎡3  3⎤
⎢    ⎥
⎣3  2⎦

⎡1  9⎤
⎢    ⎥
⎣3  6⎦

⎡5  5⎤
⎢    ⎥
⎣9  1⎦

{a₁₁: a₂₂, a₁₂: 0, a₂₁: 0}
⎡6  3⎤
⎢    ⎥
⎣5  8⎦

⎡4  5⎤
⎢    ⎥
⎣1  4⎦

⎡8  4⎤
⎢    ⎥
⎣9  3⎦

⎡9  9⎤
⎢    ⎥
⎣5  2⎦

⎡3  0⎤
⎢    ⎥
⎣9  8⎦

⎡2  8⎤
⎢    ⎥
⎣5  5⎦

⎡5  4⎤
⎢    ⎥
⎣4  6⎦

⎡9  9⎤
⎢    ⎥
⎣2  9⎦

⎡8  1⎤
⎢    ⎥
⎣4  7⎦

⎡2  8⎤
⎢    ⎥
⎣4  1⎦

{a₁₁: a₂₂, a₁₂: 0, a₂₁: 0}
$