2017年10月25日水曜日

学習環境

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.4(簡単な微分方程式)、変数分離形の微分方程式、問39.を取り組んでみる。


    1. dy dx =xy y0 dy y =xdx 1 y dy = xdx log| y |+ C 1 = 1 2 x 2 + C 2 log| y |= 1 2 x 2 + C 3 | y |= e 1 2 x 2 + C 3 y=± e 1 2 x 2 + C 3 =± e 1 2 x 2 e 1 C 3 =C e 1 2 x 2

      C = 0の場合、y = 0 は微分方程式を満たす。

      よって微分方程式の一般解。

      y=C e 1 2 x 2

    2. x dy dx +y=0 y0x0 dy y = dx x 1 y dy = 1 x dx log| y |=log| x |+ C 1 log| xy |= C 1 xy=± e C 1 xy=C( C0 ) y= C x

      C = 0の場合、関数 y = 0は与えら微分方程式を満たす。

      x = 0の場合、y = 0。


    3. x dy dx +1=y x0y1 dy y1 = dx x 1 y1 dy = 1 x dx log| y1 |=log| x |+ C 1 log| y1 x |= C 1 y1 x =± e C 1 y1 x =C( C0 ) y=Cx+1

      C = 0の場合、関数 y = 1は問題の微分方程式を満たす。

      x = 0の場合、y = 1 = C・0 + 1。

      よって、一般解。

      y=Cx+1

    4. dy dx = x 2y 2ydy=xdx 2ydy = xdy y 2 = 1 2 x 2 +C x 2 2 + y 2 =C

    5. dy dx = y 2 1 y±1 dy y 2 1 =dx 1 y 2 1 dy = 1dx 1 y 2 1 = 1 ( y1 )( y+1 ) A y1 + B y+1 = ( A+B )y+AB y 2 1 A+B=0 AB=1 2A=1 A= 1 2 B= 1 2 ( 1 2 · 1 y1 1 2 · 1 y+1 )dy = 1dx 1 2 ( log| y1 |log| y+1 | )=x+ C 1 1 2 log| y1 y+1 |=x+ C 1 log| y1 y+1 |=2x+ C 2 y1 y+1 =± e 2x+ C 2 y1 y+1 =± e 2x e C 2 y1 y+1 =C e 2x ( C0 ) y1=C e 2x ( y+1 ) ( 1C e 2x )y=C e 2x +1 y= 1+C e 2x 1C e 2x

      C = 0の場合、関数 y = 1 は、問題の微分方程式を満たす。

      y = -1は問題の微分方程式を満たす。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, exp, sqrt

print('39.')
x, y, C = symbols('x y C')
ys = [C * exp(x ** 2 / 2),
      C / x,
      C * x + 1,
      sqrt(C - x ** 2 / 2),
      (1 + C * exp(2 * x)) / (1 - C * exp(2 * x))]
D = Derivative(y, x, 1)
eqs = [D - x * y,
       x * D + y,
       x * D + 1 - y,
       D + x / (2 * y),
       D - y ** 2 + 1]

for i, (y0, eq) in enumerate(zip(ys, eqs), 1):
    print(f'({i})')
    for t in [y0, eq, eq.subs({y: y0}), eq.subs({y: y0}).doit().factor() == 0]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample39.py
39.
(1)
    2
   x 
   ──
   2 
C⋅ℯ  

       d    
-x⋅y + ──(y)
       dx   

        2     ⎛    2⎞
       x      ⎜   x ⎟
       ──     ⎜   ──⎟
       2    ∂ ⎜   2 ⎟
- C⋅x⋅ℯ   + ──⎝C⋅ℯ  ⎠
            ∂x       

True


(2)
C
─
x

  d        
x⋅──(y) + y
  dx       

C     ∂ ⎛C⎞
─ + x⋅──⎜─⎟
x     ∂x⎝x⎠

True


(3)
C⋅x + 1

  d            
x⋅──(y) - y + 1
  dx           

         ∂          
-C⋅x + x⋅──(C⋅x + 1)
         ∂x         

True


(4)
     ________
    ╱      2 
   ╱      x  
  ╱   C - ── 
╲╱        2  

 x    d    
─── + ──(y)
2⋅y   dx   

                    ⎛     ________⎞
                    ⎜    ╱      2 ⎟
       x          ∂ ⎜   ╱      x  ⎟
─────────────── + ──⎜  ╱   C - ── ⎟
       ________   ∂x⎝╲╱        2  ⎠
      ╱      2                     
     ╱      x                      
2⋅  ╱   C - ──                     
  ╲╱        2                      

True


(5)
    2⋅x     
 C⋅ℯ    + 1 
────────────
     2⋅x    
- C⋅ℯ    + 1

   2   d        
- y  + ──(y) + 1
       dx       

                                    2 
  ⎛    2⋅x     ⎞        ⎛   2⋅x    ⎞  
∂ ⎜ C⋅ℯ    + 1 ⎟        ⎝C⋅ℯ    + 1⎠  
──⎜────────────⎟ + 1 - ───────────────
∂x⎜     2⋅x    ⎟                     2
  ⎝- C⋅ℯ    + 1⎠       ⎛     2⋅x    ⎞ 
                       ⎝- C⋅ℯ    + 1⎠ 

True


$

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