数学 - Python - 面積、体積、長さ - 積分法の応用 – 簡単な微分方程式 - 変数分離形の微分方程式(解法、不定積分)

数学読本〈5〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.4(簡単な微分方程式)、変数分離形の微分方程式、問39.を取り組んでみる。

39. 1. 
       $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=xy\\ y\ne 0\\ \frac{dy}{y}=xdx\\ {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int xdx}\\ \log \left|y\right|+C_1=\frac{1}{2}{x}^2+C_2\\ \log \left|y\right|=\frac{1}{2}{x}^2+C_3\\ \left|y\right|=e^{\frac{1}{2}{x}^2+C_3}\\ y=\pm e^{\frac{1}{2}{x}^2+C_3}\\ =\pm e^{\frac{1}{2}{x}^2}{e}_1^{C_3}\\ =C{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}\end{array}$

       C = 0の場合、y = 0 は微分方程式を満たす。

       よって微分方程式の一般解。

       $y=C{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}$
    2. 
       $\begin{array}{l}x\frac{dy}{dx}+y=0\\ y\ne 0\wedge x\ne 0\\ \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\\ {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}=-{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}\\ \log \left|y\right|=-\log \left|x\right|+C_1\\ \log \left|xy\right|=C_1\\ xy=\pm e^{C_1}\\ xy=C\left(C\ne 0\right)\\ y=\frac{C}{x}\end{array}$

       C = 0の場合、関数 y = 0は与えら微分方程式を満たす。

       x = 0の場合、y = 0。

    3. 
       $\begin{array}{l}x\frac{dy}{dx}+1=y\\ x\ne 0\wedge y\ne 1\\ \frac{dy}{y-1}=\frac{dx}{x}\\ {\displaystyle \int \frac{1}{y-1}dy}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}\\ \log \left|y-1\right|=\log \left|x\right|+C_1\\ \log \left|\frac{y-1}{x}\right|=C_1\\ \frac{y-1}{x}=\pm e^{C_1}\\ \frac{y-1}{x}=C\left(C\ne 0\right)\\ y=Cx+1\end{array}$

       C = 0の場合、関数 y = 1は問題の微分方程式を満たす。

       x = 0の場合、y = 1 = C・0 + 1。

       よって、一般解。

       $y=Cx+1$
    4. 
       $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2y}\\ 2ydy=-xdx\\ {\displaystyle \int 2ydy}=-{\displaystyle \int xdy}\\ y^2=-\frac{1}{2}{x}^2+C\\ \frac{x^2}{2}+y^2=C\end{array}$
    5. 
       $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=y^2-1\\ y\ne \pm 1\\ \frac{dy}{y^2-1}=dx\\ {\displaystyle \int \frac{1}{y^2-1}dy}={\displaystyle \int 1dx}\\ \frac{1}{y^2-1}=\frac{1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\\ \frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}\\ =\frac{\left(A+B\right)y+A-B}{y^2-1}\\ A+B=0\\ A-B=1\\ 2A=1\\ A=\frac{1}{2}\\ B=-\frac{1}{2}\\ {\displaystyle \int \left(\frac{1}{2}·\frac{1}{y-1}-\frac{1}{2}·\frac{1}{y+1}\right)dy}={\displaystyle \int 1dx}\\ \frac{1}{2}\left(\log \left|y-1\right|-\log \left|y+1\right|\right)=x+C_1\\ \frac{1}{2}\log \left|\frac{y-1}{y+1}\right|=x+C_1\\ \log \left|\frac{y-1}{y+1}\right|=2x+C_2\\ \frac{y-1}{y+1}=\pm e^{2x+C_2}\\ \frac{y-1}{y+1}=\pm e^{2x}{e}^{C_2}\\ \frac{y-1}{y+1}=C{e}^{2x}\left(C\ne 0\right)\\ y-1=C{e}^{2x}\left(y+1\right)\\ \left(1-C{e}^{2x}\right)y=C{e}^{2x}+1\\ y=\frac{1+C{e}^{2x}}{1-C{e}^{2x}}\end{array}$

       C = 0の場合、関数 y = 1 は、問題の微分方程式を満たす。

       y = -1は問題の微分方程式を満たす。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, exp, sqrt

print('39.')
x, y, C = symbols('x y C')
ys = [C * exp(x ** 2 / 2),
      C / x,
      C * x + 1,
      sqrt(C - x ** 2 / 2),
      (1 + C * exp(2 * x)) / (1 - C * exp(2 * x))]
D = Derivative(y, x, 1)
eqs = [D - x * y,
       x * D + y,
       x * D + 1 - y,
       D + x / (2 * y),
       D - y ** 2 + 1]

for i, (y0, eq) in enumerate(zip(ys, eqs), 1):
    print(f'({i})')
    for t in [y0, eq, eq.subs({y: y0}), eq.subs({y: y0}).doit().factor() == 0]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample39.py
39.
(1)
    2
   x 
   ──
   2 
C⋅ℯ  

       d    
-x⋅y + ──(y)
       dx   

        2     ⎛    2⎞
       x      ⎜   x ⎟
       ──     ⎜   ──⎟
       2    ∂ ⎜   2 ⎟
- C⋅x⋅ℯ   + ──⎝C⋅ℯ  ⎠
            ∂x       

True


(2)
C
─
x

  d        
x⋅──(y) + y
  dx       

C     ∂ ⎛C⎞
─ + x⋅──⎜─⎟
x     ∂x⎝x⎠

True


(3)
C⋅x + 1

  d            
x⋅──(y) - y + 1
  dx           

         ∂          
-C⋅x + x⋅──(C⋅x + 1)
         ∂x         

True


(4)
     ________
    ╱      2 
   ╱      x  
  ╱   C - ── 
╲╱        2  

 x    d    
─── + ──(y)
2⋅y   dx   

                    ⎛     ________⎞
                    ⎜    ╱      2 ⎟
       x          ∂ ⎜   ╱      x  ⎟
─────────────── + ──⎜  ╱   C - ── ⎟
       ________   ∂x⎝╲╱        2  ⎠
      ╱      2                     
     ╱      x                      
2⋅  ╱   C - ──                     
  ╲╱        2                      

True


(5)
    2⋅x     
 C⋅ℯ    + 1 
────────────
     2⋅x    
- C⋅ℯ    + 1

   2   d        
- y  + ──(y) + 1
       dx       

                                    2 
  ⎛    2⋅x     ⎞        ⎛   2⋅x    ⎞  
∂ ⎜ C⋅ℯ    + 1 ⎟        ⎝C⋅ℯ    + 1⎠  
──⎜────────────⎟ + 1 - ───────────────
∂x⎜     2⋅x    ⎟                     2
  ⎝- C⋅ℯ    + 1⎠       ⎛     2⋅x    ⎞ 
                       ⎝- C⋅ℯ    + 1⎠ 

True


$