数学 - Python - JavaScript - 面積、体積、長さ - 積分法の応用 – 曲線の長さ - 球の表面積、円環体の表面積(トーラスの表面積)

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.3(曲線の長さ)、球の表面積、円環体の表面積.を取り組んでみる。

トーラスの表面積の表面積。

円の方程式。

$x^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$

この円をx軸のまわりに回転してできる回転体、円環体について考える。

円環体の体積の公式。

$2{\pi }^2{r}^{2}b$

円環体の表面積を円の半径rの関数としてS(r)とおく。

hをr + h < b を満たす十分小さい正の数とする。

次の円をx軸のまわりに回転してできる円環体を考える。

$x^2+{\left(y-b\right)}^2={\left(r+h\right)}^2$

1つ目に考えた円環体を２つ目に考えた円環体から取り除いた部分の体積をVとすると、次の不等式が成り立つ。

$S\left(r\right)h\le V\le S\left(r+h\right)h$

また、体積Vは大きい円環体の体積から小さい円環体の体積を除いたものなので次のことが成り立つ。

$\begin{array}{l}V=2{\pi }^2{\left(r+h\right)}^{2}b-2{\pi }^2{r}^{2}b\\ =2{\pi }^{2}b\left({\left(r+h\right)}^2-r^2\right)\\ =2{\pi }^{2}b\left(2hr+h^2\right)\\ =2{\pi }^{2}bh\left(2r+h\right)\end{array}$

よって、上記の不等式について次のことが成り立つ。

$\begin{array}{l}S\left(r\right)h\le 2{\pi }^{2}bh\left(2r+h\right)\le S\left(r+h\right)h\\ S\left(r\right)\le 2{\pi }^{2}b2r\le S\left(r\right)h\\ S\left(r\right)\le 4{\pi }^{2}rb\le S\left(r\right)h\end{array}$

よって、円環体の表面積は次のようになる。

$S\left(r\right)=4{\pi }^{2}rb$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, pi, solve

x, y, r, b = symbols('x y r b')
V = 2 * pi ** 2 * r ** 2 * b
Dr = Derivative(V, r, 1)
eq = x ** 2 + (y - b) ** 2 - r ** 2

for t in [Dr, Dr.doit(), eq, solve(eq, y)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample0.py
∂ ⎛   2    2⎞
──⎝2⋅π ⋅b⋅r ⎠
∂r           

   2    
4⋅π ⋅b⋅r

   2    2           2
- r  + x  + (-b + y) 

⎡      _________________        _________________⎤
⎣b - ╲╱ (r - x)⋅(r + x) , b + ╲╱ (r - x)⋅(r + x) ⎦

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">
<br>
<label for="b0">b = </label>
<input id="b0" type="number" value="5">
<label for="r1">r1 = </label>
<input id="r1" type="number" min="0" value="5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample.js"></script> 

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_b0 = document.querySelector('#b0'),
    input_r1 = document.querySelector('#r1'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_b0, input_r1],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        b0 = parseFloat(input_b0.value),
        r1 = parseFloat(input_r1.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }
    
    let points = [],
        lines = [],
        f1 = (x) => b0 - Math.sqrt(r1 ** 2 - x ** 2),
        f2 = (x) => b0 + Math.sqrt(r1 ** 2 - x ** 2),
        fns = [[f1, 'green'],
               [f2, 'blue']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns.forEach((o) => {
        let [fn, color] = o;
        for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
            let y = fn(x);

            if (Math.abs(y) < Infinity) {
                points.push([x, y, color]);
            }
        }
    });
    fns1.forEach((o) => {
        let [fn, color] = o;
        
        lines.push([x1, fn(x1), x2, fn(x2), color]);
    });
    fns2.forEach((o) => {
        let [fn, color] = o;

        for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
            let g = fn(x);
            
            lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
        }        
    });
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
b = r1 =