学習環境
- Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
- MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
- MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
- 参考書籍
数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.2(体積)、回転体の体積、問24.を取り組んでみる。
球体の中心を通る断面の円、その円を含む平面を考える。
x軸を2平面の垂直、y軸を2平面に平行にとる。円の中心を原点、半径r1の切り口の円のx座標をx1、半径r2の切り口の円のx座標をx2、x1 ≤ x2とする。
すると、x2 = x1 + hとなる。
また、球体の半径をrとする。(-r ≤ x1 ≤ x2 ≤ r)すると、円の方程式は次のようになる。
また、r1、r2が切り口における半径なので、次のことが成り立つ。
体積を求める。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, solve, sqrt
print('24.')
r1, r2, h = symbols('r1 r2 h', nonnegative=True)
x, x1 = symbols('x x1', real=True)
x2 = x1 + h
r = sqrt(x1 ** 2 + r1 ** 2)
x10 = solve((x1 ** 2 + r1 ** 2) - (x2 ** 2 + r2 ** 2), x1)[0]
pprint(x10)
f = r ** 2 - x ** 2
pprint(f)
V = pi * Integral(f, (x, x1, x2)).subs({x1:x10})
for t in [V, V.doit().factor()]:
pprint(t)
print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample24.py
24.
2 2 2
- h + r₁ - r₂
────────────────
2⋅h
2 2 2
r₁ - x + x₁
2 2 2
- h + r₁ - r₂
h + ────────────────
2⋅h
⌠
⎮ ⎛ 2⎞
⎮ ⎜ ⎛ 2 2 2⎞ ⎟
⎮ ⎜ 2 2 ⎝- h + r₁ - r₂ ⎠ ⎟
π⋅ ⎮ ⎜r₁ - x + ───────────────────⎟ dx
⎮ ⎜ 2 ⎟
⎮ ⎝ 4⋅h ⎠
⌡
2 2 2
- h + r₁ - r₂
────────────────
2⋅h
⎛ 2 2 2⎞
π⋅h⋅⎝h + 3⋅r₁ + 3⋅r₂ ⎠
────────────────────────
6
$
HTML5
<div id="graph0"></div> <pre id="output0"></pre> <label for="r0">r = </label> <input id="r0" type="number" min="0" value="0.5"> <label for="dx">dx = </label> <input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001"> <br> <label for="x1">x1 = </label> <input id="x1" type="number" value="-10"> <label for="x2">x2 = </label> <input id="x2" type="number" value="10"> <br> <label for="y1">y1 = </label> <input id="y1" type="number" value="-10"> <label for="y2">y2 = </label> <input id="y2" type="number" value="10"> <br> <label for="x3">x = </label> <input id="x3" type="number" value="-2"> <label for="h0">h = </label> <input id="h0" type="number" value="5"> <button id="draw0">draw</button> <button id="clear0">clear</button> <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script> <script src="sample24.js"></script>
JavaScript
let div0 = document.querySelector('#graph0'),
pre0 = document.querySelector('#output0'),
width = 600,
height = 600,
padding = 50,
btn0 = document.querySelector('#draw0'),
btn1 = document.querySelector('#clear0'),
input_r = document.querySelector('#r0'),
input_dx = document.querySelector('#dx'),
input_x1 = document.querySelector('#x1'),
input_x2 = document.querySelector('#x2'),
input_y1 = document.querySelector('#y1'),
input_y2 = document.querySelector('#y2'),
input_x3 = document.querySelector('#x3'),
input_h0 = document.querySelector('#h0'),
inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
input_x3, input_h0],
p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
range = (start, end, step=1) => {
let res = [];
for (let i = start; i < end; i += step) {
res.push(i);
}
return res;
};
let f1 = (x) => Math.sqrt(10 ** 2 - x ** 2),
f2 = (x) => -Math.sqrt(10 ** 2 - x ** 2);
let draw = () => {
pre0.textContent = '';
let r = parseFloat(input_r.value),
dx = parseFloat(input_dx.value),
x1 = parseFloat(input_x1.value),
x2 = parseFloat(input_x2.value),
y1 = parseFloat(input_y1.value),
y2 = parseFloat(input_y2.value),
x3 = parseFloat(input_x3.value),
h0 = parseFloat(input_h0.value);
if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
return;
}
let points = [],
lines = [[x3, y1, x3, y2, 'red'],
[x3 + h0, y1, x3 + h0, y2, 'red']],
fns = [[f1, 'green'],
[f2, 'green']],
fns1 = [],
fns2 = [];
fns.forEach((o) => {
let [fn, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
let y = fn(x);
if (Math.abs(y) < Infinity) {
points.push([x, y, color]);
}
}
});
fns1.forEach((o) => {
let [fn, color] = o;
lines.push([x1, fn(x1), x2, fn(x2), color]);
});
fns2.forEach((o) => {
let [fn, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
let g = fn(x);
lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
}
});
let xscale = d3.scaleLinear()
.domain([x1, x2])
.range([padding, width - padding]);
let yscale = d3.scaleLinear()
.domain([y1, y2])
.range([height - padding, padding]);
let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
div0.innerHTML = '';
let svg = d3.select('#graph0')
.append('svg')
.attr('width', width)
.attr('height', height);
svg.selectAll('line')
.data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
.enter()
.append('line')
.attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
.attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
.attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
.attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
.attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
svg.selectAll('circle')
.data(points)
.enter()
.append('circle')
.attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
.attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
.attr('r', r)
.attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
.call(xaxis);
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
.call(yaxis);
[fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};
inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();
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