数学 - Python - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族、和集合、共通部分、補集合、de Morgan の法則の一般化)

集合・位相入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題3を取り組んでみる。

3. • (5.2)について。

     $\begin{array}{l}x\in {\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)}^c\\ \iff x\notin {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\\ \iff \neg \left(x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\\ \iff \neg \left(\exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\right)\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\notin A_{\lambda }\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }{}^c\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }{}^c}\\ \\ {\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)}^c={\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }{}^c}\end{array}$

   • (5.2)'について。

     $\begin{array}{l}x\in {\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)}^c\\ \iff x\notin {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\\ \iff \neg \left(x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\\ \iff \neg \left(\forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\right)\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\notin A_{\lambda }\right]\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }{}^c\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }{}^c}\\ \\ {\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)}^c={\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }{}^c}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn3
from sympy import pprint, FiniteSet

print('3.')
X = FiniteSet(*range(10))
A = FiniteSet(*range(5))
B = FiniteSet(*range(2, 6))

for t in [X, A, B]:
    pprint(t)
    print()

for l, r in [((A | B).complement(X), A.complement(X) & B.complement(X)),
             ((A & B).complement(X), A.complement(X) | B.complement(X))]:
    for t in [l, r, l == r]:
        pprint(t)
        print()
    print()

venn3(subsets=(X, A, B))
plt.savefig('sample3.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1, 2, 3, 4}

{2, 3, 4, 5}

{6, 7, 8, 9}

{6, 7, 8, 9}

True


{0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}

True


$