数学 - 集合論 - 集合算 - 積集合、ファイバー積(射影、可換な図式、底の変換、単射、全射)

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.7(積集合、ファイバー積)の練習問題10.を取り組んでみる。

10. • x'1、x'2を集合X'(ファイバー積)の任意の元とする。

      f'(x1') = f'(x2')と仮定する。

      $\begin{array}{l}{x}_1,x_2\in X\\ b{\text{'}}_1,b{\text{'}}_2\in B\\ \\ x{\text{'}}_1=\left(x_1,b{\text{'}}_1\right)\\ x{\text{'}}_2=\left(x_2,b{\text{'}}_2\right)\\ \\ f\text{'}\left(x{\text{'}}_1\right)=f\text{'}\left(x{\text{'}}_2\right)\\ b{\text{'}}_1=b{\text{'}}_2\\ \\ b=b{\text{'}}_1=b{\text{'}}_2\\ \\ x{\text{'}}_1=\left(x_1,b\right)\\ x{\text{'}}_2=\left(x_2,b\right)\end{array}$

      このとき、ファイバー積の定義より次のことが成り立つ。

      $\begin{array}{l}f\left(x_1\right)=g\left(b{\text{'}}_1\right)\\ f\left(x_2\right)=g\left(b{\text{'}}_2\right)\end{array}$

      よって、f(x1) = b、f(x2)なので、f(x1) = f(x2)となる。

      fは単射なので、x1 = x2が成り立ち、x1' = x2'となる。

      よって、写像fが単射ならば、写像f'も単射である。

    • b'を集合B'の任意の元とする。

      b = g(b')とおく。

      fは全射なので、集合Xのある元xが存在して、f(x) = bが成り立つ。

      f(x) = g(b')なので、(x, b')はファイバー積X'の元である。

      x' = (x, b')とおくと、g'(x') = x、f'(x') = b'となる。

      よって、写像fが全射ならば、写像f'も全射である。