数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族、和集合、直和、写像の拡大、直積、直積因子、射影、全射、選択公理)

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題6、7を取り組んでみる。

6. 集合族の和集合からBへの写像f。

   $f:{\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\to B$

   aを和集合の任意の元とする。

   そのとき、集合族の各集合は互いに素(共通部分を持たない、共通部分は空集合)なので、ただ1つのΛの元λが存在し、aはそのλを添字とする集合の元となる。このことを考慮し写像fを定める。

   $f\left(a\right)=f_i\left(a\right)\left(a\in A_i\right)$

   このような写像fの定め方は一通りのみである。

   よって、すべての集合族の各集合を定義域とする各写像の拡大であるものが一意的に存在する。

7. aを添字をλとする直積因子の元とする。

   すべての各直積因子は空集合ではないので、次のような直積の元を取ることができる。(選択公理より)

   $b\in {\displaystyle \prod _{{\lambda }_0\in \Lambda -\left\{\lambda \right\}}{A}_{{\lambda }_0}}$

   上記のbとλを添字とする直積因子からはaを選んで考えた直積の元をcとする。

   このcに対して次のことが成り立つ。

   $p{r}_{\lambda }\left(c\right)=a$

   よって、射影は全射である。