数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(二項関係、順序の公理、義順序、同値関係、同値類、商集合、反射律、対称律、反対称律、推移律)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題8.を取り組んでみる。

8. 1. 
      

      x、y、zを集合Xの任意の元とする。

      1. 反射律について、PO1より、xPxなので、xRx。

      2. 対称律について、xRyならば、xPyかつyPx、すなわちyPxかつxPyなので、yRx。

      3. 推移律について、xRyかつyRzならば、"xPyかつyPx"かつ"yPzかつzPy"、すなわち、"xPyかつyPz"かつ"zPyかつyPx"となり、PO3よりxPzかつzPxなので、xRzとなる。

   2. 
      

      xRx'、yRy'、xPyとする。

      xPx'かつx'PxかつyPy'かつy'PyかつxPy。

      x'PxかつxPyかつyPy'。

      PO3より、x'PyかつyPy'、x'Py'。

   3. 
      $\begin{array}{l}{x}^{*},y^{*},z^{*},x{\text{'}}^{*},y{\text{'}}^{*}\in X^{*}\\ x\ne x\text{'}\wedge x^{*}=x{\text{'}}^{*}\\ y\ne y\text{'}\wedge y^{*}=y{\text{'}}^{*}\end{array}$

      代表の取り方には無関係なことについて。

      $\begin{array}{l}xRx,yRy\\ \\ x^{*}{P}^{*}{y}^{*}\\ \iff xPy\\ \Rightarrow x\text{'}Py\text{'}\\ \iff x{\text{'}}^{*}{P}^{*}y{\text{'}}^{*}\end{array}$

      1. PO1: 反射律について。

         $\begin{array}{l}PO1\\ xPx\\ x^{*}P{x}^{*}\end{array}$

      2. PO2: 反対称律について。

         $\begin{array}{l}{x}^{*}{P}^{*}{y}^{*}\wedge y^{*}{P}^{*}{x}^{*}\\ \Rightarrow xPy\wedge yPx\\ \Rightarrow xRy\\ \Rightarrow x^{*}=y^{*}\end{array}$

      3. PO3: 推移律について。

         $\begin{array}{l}{x}^{*}{P}^{*}{y}^{*}\wedge y^{*}{P}^{*}{z}^{*}\\ \Rightarrow xPy\wedge yPz\\ \Rightarrow xPz\left(P:PO3\right)\\ \Rightarrow x^{*}{P}^{*}{z}^{*}\end{array}$

      よって関係P^*はX^*上の順序となる。