数学 - 集合論 - 集合算 - 写像(像、和集合、像の逆像、包含関係、単射、等号)

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.6(写像)の練習問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   yを終集合の任意の元とする。

   $\begin{array}{l}y\in f\left(A\right)\cap f\left(B\right)\\ \iff y\in f\left(A\right)\wedge y\in f\left(B\right)\\ \iff \exists a,b\in X\left[a\in A\wedge f\left(a\right)=y\wedge b\in B\wedge f\left(b\right)=y\right]\\ \iff \exists a,b\in X\left[a\in A\wedge b\in B\wedge f\left(a\right)=f\left(b\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists a,b\in X\left[a\in A\wedge b\in B\wedge f\left(a\right)=f\left(b\right)=y\wedge a=b\right]\\ \Rightarrow \exists a\in X\left[a\in A\wedge a\in B\wedge f\left(a\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists a\in X\left[a\in A\cap B\wedge f\left(a\right)=y\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(A\cap B\right)\\ \\ f\left(A\right)\cap f\left(B\right)\subset f\left(A\cap B\right)\end{array}$

   よって(1.37)について、写像fが単射なら等号が成り立つ。

   xを始集合Xの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}x\in f^{-1}\left(f\left(B\right)\right)\\ \iff f\left(x\right)\in f\left(B\right)\\ \Rightarrow \exists b\in X\left[b\in B\wedge f\left(x\right)=f\left(b\right)\right]\\ \Rightarrow \exists b\in X\left[b\in B\wedge f\left(x\right)=f\left(b\right)\wedge x=b\right]\\ \Rightarrow x\in B\\ \\ f^{-1}\left(f\left(B\right)\right)\subset B\end{array}$

   よって、写像fが単射なら、(1.44)の包含関係は等号が成り立つ。