数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(単射の場合、像の逆像、包含関係、等号、像、共通部分)

集合・位相入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題3、4を取り組んでみる。

3. 
   

   xを集合Aの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}x\in f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\\ \Rightarrow f\left(x\right)\in f\left(P\right)\end{array}$

   y = f(x)とすると、Pのある元x1が存在して、f(x1) = y。

   fは単射なので、f(x) = f(x1) ならば x = x1となる。

   よって、xはPの元となり、次の包含関係が成り立つ。

   $f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\subset P$

   よって、fが単射ならば、(4.5)で等号が成り立つ。

4. 
   

   yをBの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}y\in f\left(P_1\right)\cap f\left(P_2\right)\\ \Rightarrow y\in f\left(P_1\right)\wedge y\in f\left(P_2\right)\\ \Rightarrow \exists x\in A\exists x_1\in P_1{\exists }_1{x}_2\in P_2\left[f\left(x\right)=y\wedge f\left(x_1\right)=y\wedge f\left(x_2\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists x\in A\exists x_1\in P_1{\exists }_1{x}_2\in P_2\left[y=f\left(x\right)=f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\right]\\ \Rightarrow \exists x\in A\exists x_1\in P_1{\exists }_1{x}_2\in P_2\left[x=x_1=x_2\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists x\in A\left[x\in P_1\wedge x\in P_2\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists x\in A\left[x\in P_1\cap P_2\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(P_1\cap P_2\right)\end{array}$

   よって次の包含関係が成り立つ。

   $f\left(P_1\right)\cap f\left(P_2\right)\subset f\left(P_1\cap P_2\right)$

   ゆえに、fが単射ならば、(4.3)で等号が成り立つ。