数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 部分空間の次元(R^3(3次元)の部分空間とその基底)

線型代数入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、9(部分空間の次元)、問1.を取り組んでみる。

1. 問題の集合をVとする。

   1. • 1. 零ベクトルについて。

           $\begin{array}{l}0+0+0=0\\ \left(0,0,0\right)\in V\end{array}$

        2. 和について。

           $\begin{array}{l}v,w\in V\\ \\ v=\left(v_1,v_2,v_3\right)\\ w=\left(w_1,w_2,w_3\right)\\ \\ v_1+v_2+v_3=0\\ w_1+w_2+w_3=0\\ \\ v+w=\left(v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3\right)\\ \left(v_1+w_1\right)+\left(v_2+w_2\right)+\left(v_3+w_3\right)\\ =\left(v_1+v_2+v_3\right)+\left(w_1+w_2+w_3\right)\\ =0\\ v+w\in V\end{array}$

        3. スカラー倍について。

           $\begin{array}{l}v\in V\\ c\in ℝ\\ v_1+v_2+v_3=0\\ cv=\left(c{v}_1,c{v}_2,c{v}_3\right)\\ c{v}_1+c{v}_2+c{v}_3\\ =c\left(v_1+v_2+v_3\right)\\ =c0\\ =0\\ cv\in V\end{array}$

        よって部分空間。

      • 1つの基底。{(1, -1, 0), (0, 1, -1)}

   2. • 1. 零ベクトルについて。

           $\begin{array}{l}0=\left(0,0,0\right)\\ =\left(0,-2·0,3·0\right)\\ \in V\end{array}$

        2. 和について。

           $\begin{array}{l}v,w\in V\\ v=\left(x,-2x,3x\right)\\ w=\left(y,-2y,3y\right)\\ v+w\\ =\left(x,-2x,3x\right)+\left(y,-2y,3y\right)\\ =\left(x+y.-2x-2y,3x+3y\right)\\ =\left(x+y.-2\left(x+y\right),3\left(x+y\right)\right)\\ \in V\end{array}$

        3. スカラー倍について。

           $\begin{array}{l}v\in V\\ c\in ℝ\\ v=\left(x,-2x,3x\right)\\ cv=\left(cx,c\left(-2x\right),c\left(3x\right)\right)\\ =\left(cx,-2\left(cx\right),3\left(cx\right)\right)\\ \in V\end{array}$

        よって部分空間。

      • 1つに基底。{(1, -2, 3)}