数学 - Python - 細分による加法 - 積分法 – 定積分の性質と計算 - リーマン和の極限としての定積分(分母、分子の変形、数列の極限を積分によって求める)

数学読本〈5〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第19章(細分による加法 - 積分法)、19.3(定積分の性質と計算)、リーマン和の極限としての定積分、問37.を取り組んでみる。

37. 
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=k}^n{k}^{\alpha }}\right)}^{\beta +1}}{{\left({\displaystyle \sum _{i=k}^n{k}^{\beta }}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=k}^n{k}^{\alpha }}\right)}^{\beta +1}}{n^{\left(\alpha +1\right)\left(\beta +1\right)}}}{\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=k}^n{k}^{\beta }}\right)}^{\alpha +1}}{n^{\left(\alpha +1\right)\left(\beta +1\right)}}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{n^{\alpha +1}}{\displaystyle \sum _{i=k}^n{k}^{\alpha }}\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{n^{\beta +1}}{\displaystyle \sum _{i=k}^n{k}^{\beta }}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=k}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\alpha }}\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=k}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\beta }}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=k}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\alpha }}\right)}^{\beta +1}}{{\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=k}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\beta }}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left({\displaystyle {\int }_0^1{x}^{\alpha }dx}\right)}^{\beta +1}}{{\left({\displaystyle {\int }_0^1{x}^{\beta }dx}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left({\left[\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}\right]}_0^1\right)}^{\beta +1}}{{\left({\left[\frac{1}{\beta +1}{x}^{\beta +1}\right]}_0^1\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left(\frac{1}{\alpha +1}\right)}^{\beta +1}}{{\left(\frac{1}{\beta +1}\right)}^{\alpha +1}}\\ =\frac{{\left(\beta +1\right)}^{\alpha +1}}{{\left(\alpha +1\right)}^{\beta +1}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, summation, Limit, oo, sin, pi, sqrt

print('37.')
k, n = symbols('k n', integer=True)
α, β = symbols('α β', positive=True)
f = summation(k ** α, (k, 1, n)) ** (β + 1) / \
    summation(k ** β, (k, 1, n)) ** (α + 1)

l = Limit(f, n, oo)
pprint(l)
try:
    pprint(l.doit())
except Exception as err:
    print(type(err), err)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample37.py
37.
    ⎛          β + 1           -α - 1⎞
    ⎜⎛  n     ⎞      ⎛  n     ⎞      ⎟
    ⎜⎜ ___    ⎟      ⎜ ___    ⎟      ⎟
    ⎜⎜ ╲      ⎟      ⎜ ╲      ⎟      ⎟
    ⎜⎜  ╲    α⎟      ⎜  ╲    β⎟      ⎟
lim ⎜⎜  ╱   k ⎟     ⋅⎜  ╱   k ⎟      ⎟
n─→∞⎜⎜ ╱      ⎟      ⎜ ╱      ⎟      ⎟
    ⎜⎜ ‾‾‾    ⎟      ⎜ ‾‾‾    ⎟      ⎟
    ⎝⎝k = 1   ⎠      ⎝k = 1   ⎠      ⎠
<class 'RecursionError'> maximum recursion depth exceeded while calling a Python object
$

SymPy では計算結果を求めることができなかった。。