数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間(3次元、2つのベクトル、1次従属、外積、必要十分条件)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題3-(a).を取り組んでみる。

3. 1. • 
        $\begin{array}{l}\Rightarrow \\ a=\left(a_1,a_2,a_3\right)\\ b=\left(b_1,b_2,b_3\right)\\ c_{1}a+c_{2}b=0\\ c_1\ne 0\\ a=-\frac{c_2}{c_1}b\\ a=-\frac{c_2}{c_1}\left(b_1,b_2,b_3\right)\\ a\times b\\ =\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)\\ =-\frac{c_2}{c_1}\left(a_2{a}_3-a_3{a}_2{a}_3{a}_1-a_1{a}_3,a_1{a}_2-a_2{a}_1\right)\\ =-\frac{c_2}{c_1}\left(0,0,0\right)\\ =0\\ c_2\ne 0のときも同様。\end{array}$
      • 
        $\begin{array}{l}\Leftarrow \\ a=\left(a_1,a_2,a_3\right)\\ b=\left(b_1,b_2,b_3\right)\\ a\times b=0\\ \left(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)=\left(0,0,0\right)\\ a_2{b}_3-a_3{b}_2=0\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3=0\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1=0\\ \\ c_{1}a+c_{2}b=0\\ \left(c_1{a}_1+c_2{b}_1,c_1{a}_2+c_2{b}_2,c_1{a}_3+c_2{b}_3\right)=\left(0,0,0\right)\\ b_1\ne 0\\ c_1=b_1\\ c_2=-a_1\\ c_1{a}_1+c_2{b}_1=a_1{b}_1-a_1{b}_1=0\\ c_1{a}_2+c_2{b}_2=a_2{b}_1-a_1{b}_2=0\\ c_1{a}_3+c_2{b}_3=a_3{b}_1-a_1{b}_3=0\\ b_2\ne 0\\ c_1=b_2\\ c_2=-a_2\\ c_1{a}_1+c_2{b}_1=a_1{b}_2-a_2{b}_1=0\\ c_1{a}_2+c_2{b}_2=a_2{b}_2-a_2{b}_2=0\\ c_1{a}_3+c_2{b}_3=a_3{b}_2-a_2{b}_3=0\\ b_3\ne 0\\ c_1=b_3\\ c_2=-a_3\\ c_1{a}_1+c_2{b}_1=a_1{b}_3-a_3{b}_1=0\\ c_1{a}_2+c_2{b}_2=a_2{b}_3-a_3{b}_2=0\\ c_1{a}_3+c_2{b}_3=a_3{b}_3-a_3{b}_3=0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('3-(a).')
a = Matrix(symbols('a1 a2 a3'))
b = Matrix(symbols('b1 b2 b3'))
c1, c2 = symbols('c1 c2', nonzero=True)
eq = c1 * a + c2 * b

pprint(a.cross(b).T)
pprint(eq.T)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3_a.py
3-(a).
[a₂⋅b₃ - a₃⋅b₂  -a₁⋅b₃ + a₃⋅b₁  a₁⋅b₂ - a₂⋅b₁]
[a₁⋅c₁ + b₁⋅c₂  a₂⋅c₁ + b₂⋅c₂  a₃⋅c₁ + b₃⋅c₂]
$