数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間(ある基底に関する単位ベクトルの座標、3次元)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   $\begin{array}{l}y=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^1\left(0-\left(x^2-1\right)\right)dx}\\ =-2{\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx}+2{\displaystyle {\int }_0^{1}1dx}\\ =-2{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1+2{\left[x\right]}_0^1\\ =-\frac{2}{3}+2\\ =\frac{4}{3}\\ \\ y=\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)\\ {\displaystyle {\int }_0^1\left(1-x^3\right)dx}\\ ={\left[x-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^1\\ =1-\frac{1}{4}\\ =\frac{3}{4}\\ \\ y=x^2\left(1-x\right)\\ {\displaystyle {\int }_0^1\left(x^2-x^3\right)dx}\\ ={\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^1\\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ =\frac{1}{12}\\ \\ y=-\left(x^2-2x-3\right)\\ =-\left(x-3\right)\left(x+1\right)\\ {\displaystyle {\int }_{-1}^3\left(-x^2+2x+3\right)dx}\\ ={\left[-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+3x\right]}_{-1}^3\\ =\left(-9+9+9\right)-\left(\frac{1}{3}+1-3\right)\\ a=\left(a_1,a_2,a_3\right)\\ b=\left(b_1,b_2,b_3\right)\\ c=\left(c_1,c_2,c_3\right)\\ \\ 0a+1b-1c=e_1\\ -1a+0b+1c=e_2\\ 1a+2b+0c=e_3\\ \\ b-c=e_1\\ -a+c=e_2\\ a+2b=e_3\\ \\ c=b-e_1\\ -a+b-e_1=e_2\\ b=a+e_1+e_2\\ c=a+e_1+e_2-e_1=a+e_2\\ a+2\left(a+e_1+e_2\right)=e_3\\ 3a=e_3-2\left(e_1+e_2\right)\\ a=\frac{1}{3}\left(-2,-2,1\right)=\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)\\ b=\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)+e_1+e_2=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\\ c=\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)+e_2=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('2.')
a = Matrix(symbols('a1 a2 a3'))
b = Matrix(symbols('b1 b2 b3'))
c = Matrix(symbols('c1 c2 c3'))
z = Matrix([0, 0, 0])
e1 = Matrix([1, 0, 0])
e2 = Matrix([0, 1, 0])
e3 = Matrix([0, 0, 1])
eq1 = 0 * a + 1 * b - 1 * c - e1
eq2 = -1 * a + 0 * b + 1 * c - e2
eq3 = 1 * a + 2 * b + 0 * c - e3

for eq in [eq1, eq2, eq3]:
    pprint(eq.T)

pprint(solve((eq1, eq2, eq3), dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
[b₁ - c₁ - 1  b₂ - c₂  b₃ - c₃]
[-a₁ + c₁  -a₂ + c₂ - 1  -a₃ + c₃]
[a₁ + 2⋅b₁  a₂ + 2⋅b₂  a₃ + 2⋅b₃ - 1]
[{a₁: -2/3, a₂: -2/3, a₃: 1/3, b₁: 1/3, b₂: 1/3, b₃: 1/3, c₁: -2/3, c₂: 1/3, c
₃: 1/3}]
$