数学 - Python - 細分による加法 - 積分法 – 定積分の性質と計算 - リーマン和の極限としての定積分(数列の極限を積分によって求める)

数学読本〈5〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第19章(細分による加法 - 積分法)、19.3(定積分の性質と計算)、リーマン和の極限としての定積分、問36.を取り組んでみる。

36. 1. 
       $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^2}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1+x\right)}^{2}dx}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\left(x^2+2x+1\right)dx}\\ ={\left[\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x\right]}_0^1\\ =\frac{1}{3}+1+1\\ =\frac{7}{3}\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{k^{\alpha }}{n^{\alpha }}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\alpha }}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1{x}^{\alpha }dx}\\ ={\left[\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}\right]}_0^1\\ =\frac{1}{\alpha +1}\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{n}{n+k}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx}\\ ={\left[\log \left(1+x\right)\right]}_0^1\\ =\log 2-\log 1\\ =\log 2\end{array}$
    4. 
       $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\sin \left(\frac{k}{n}\pi \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\sin \left(x\pi \right)dx}\\ ={\left[-\frac{1}{\pi }\cos \left(x\pi \right)\right]}_0^1\\ =-\frac{1}{\pi }\left(\cos \pi -\cos 0\right)\\ =-\frac{1}{\pi }\left(-1-1\right)\\ =\frac{2}{\pi }\end{array}$
    5. 
       $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+k}}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\sqrt{\frac{n}{n+k}}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{k}{n}}}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{\frac{1}{1+x}}dx}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1+x\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}\\ ={\left[2{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}_0^1\\ =2\left(\sqrt{2}-1\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, summation, Limit, oo, sin, pi, sqrt

print('36.')
k, n = symbols('k n', integer=True)
α = symbols('α', positive=True)
fs = [1 / n * summation((1 + k / n) ** 2, (k, 1, n)),
      1 / n ** (α + 1) * summation(k ** α, (k, 1, n)),
      summation(1 / (n + k), (k, 1, n)),
      1 / n * summation(sin(k * pi / n), (k, 1, n)),
      1 / sqrt(n) * summation(1 / sqrt(n + k), (k, 0, n - 1))]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    try:
        l = Limit(f, n, oo)
        for g in [l, l.doit()]:
            pprint(g)
            print()
        print()
    except Exception as err:
        print(type(err), err)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample36.py
36.
(1)
    ⎛      ⎛ 2    ⎞    3    2    ⎞
    ⎜      ⎜n    n⎟   n    n    n⎟
    ⎜    2⋅⎜── + ─⎟   ── + ── + ─⎟
    ⎜      ⎝2    2⎠   3    2    6⎟
    ⎜n + ────────── + ───────────⎟
    ⎜        n              2    ⎟
    ⎜                      n     ⎟
lim ⎜────────────────────────────⎟
n─→∞⎝             n              ⎠

7/3


(2)
    ⎛          n     ⎞
    ⎜         ___    ⎟
    ⎜         ╲      ⎟
    ⎜ -α - 1   ╲    α⎟
lim ⎜n      ⋅  ╱   k ⎟
n─→∞⎜         ╱      ⎟
    ⎜         ‾‾‾    ⎟
    ⎝        k = 1   ⎠

0


(3)
<class 'NotImplementedError'> 
(4)
    ⎛  n           ⎞
    ⎜ ____         ⎟
    ⎜ ╲            ⎟
    ⎜  ╲      ⎛π⋅k⎞⎟
    ⎜   ╲  sin⎜───⎟⎟
    ⎜   ╱     ⎝ n ⎠⎟
    ⎜  ╱           ⎟
    ⎜ ╱            ⎟
    ⎜ ‾‾‾‾         ⎟
    ⎜k = 1         ⎟
lim ⎜──────────────⎟
n─→∞⎝      n       ⎠

0


(5)
    ⎛n - 1          ⎞
    ⎜ ____          ⎟
    ⎜ ╲             ⎟
    ⎜  ╲       1    ⎟
    ⎜   ╲  ─────────⎟
    ⎜   ╱    _______⎟
    ⎜  ╱   ╲╱ k + n ⎟
    ⎜ ╱             ⎟
    ⎜ ‾‾‾‾          ⎟
    ⎜k = 0          ⎟
lim ⎜───────────────⎟
n─→∞⎝       √n      ⎠

√2


$

いくつかの結果がSymPy の結果と一致しない。。