数学 - Python - 指数関数の性質・対数関数(Exponential & Logarithmic Functions) - 指数関数の性質 - ネイピア数(誤差関数(error function)、項別積分)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第II部(関数の定義(Definitions of Functions))、第6章(指数関数の性質・対数関数(Exponential & Logarithmic Functions))、6.3(指数関数の性質)、6.3.2(ネイピア数)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   $\begin{array}{l}{e}^x\approx 1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4+\frac{1}{120}{x}^5+\frac{1}{720}{x}^6\\ \\ g\left(1\right)\\ \approx {\displaystyle {\int }_0^1\left(1+\left(-t^2\right)+\frac{1}{2}{\left(-t^2\right)}^2+\frac{1}{6}{\left(-t^2\right)}^3+\frac{1}{24}{\left(-t^2\right)}^4+\frac{1}{120}{\left(-t^2\right)}^5+\frac{1}{720}{\left(-t^2\right)}^6\right)dt}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t^2+\frac{1}{2}{t}^4-\frac{1}{6}{t}^6+\frac{1}{24}{t}^8-\frac{1}{120}{t}^{10}+\frac{1}{720}{t}^{12}\right)dt}\\ ={\left[t-\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{10}{t}^5-\frac{1}{42}{t}^7+\frac{1}{216}{t}^9-\frac{1}{1320}{t}^{11}+\frac{1}{9360}{t}^{13}\right]}_0^1\\ =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216}-\frac{1}{1320}+\frac{1}{9360}\\ 10=2·5\\ 42=2·3·7\\ 216=2^3·3^3\\ 1320=2^3·3·5·11\\ 9360=2^4·3^2·5·13\\ 2^4·3^3·5·7·11·13=\text{2162160}\\ g\left(1\right)\\ \approx \frac{2162160-720720+216216-51480+10010-1638+231}{\text{2162160}}\\ =\frac{1614779}{2162160}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Rational

print('問題3')

f = 1 - Rational(1, 3) + Rational(1, 10) - Rational(1, 42) + \
    Rational(1, 216) - Rational(1, 1320) + Rational(1, 9360)

pprint(f)
print(float(f))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
問題3
1614779
───────
2162160
0.7468360343360343
$