数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ベクトル空間(基底と座標、1次独立、次元)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   • 
     $\begin{array}{l}{c}_{1}a+c_{2}b+c_{3}c=0\\ c_1\left(1,-1,0\right)+c_2\left(1,0,1\right)+c_3\left(0,2,1\right)=\left(0,0,0\right)\\ \\ c_1+c_2=0\\ -c_1+2c_3=0\\ c_2+c_3=0\\ \\ c_3=-c_2\\ c_2=-c_1\\ c_3=-\left(-c_1\right)=c_1\\ \\ -c_1+2c_1=0\\ c_1=0\\ c_2=0\\ c_3=0\end{array}$

     よって、a、b、cは1次独立なのでR^3の基底をなす。

   • $\begin{array}{l}{c}_{1}a+c_{2}b+c_{3}c=\left(2,4,-1\right)\\ c_1\left(1,-1,0\right)+c_2\left(1,0,1\right)+c_3\left(0,2,1\right)=\left(2,4,-1\right)\\ \\ c_1+c_2=2\\ -c_1+2c_3=4\\ c_2+c_3=-1\\ \\ c_1=2-c_2\\ -2+c_2+2c_3=4\\ c_2+2c_3=6\\ c_3=7\\ c_2=-8\\ c_1=10\end{array}$

     よって{a、b、c}を基底とするベクトルuの座標は(10, -8, 7)。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('1.')
a = Matrix([1, -1, 0])
b = Matrix([1, 0, 1])
c = Matrix([0, 2, 1])
z = Matrix([0, 0, 0])
u = Matrix([2, 4, -1])
x1, x2, x3 = symbols('x1 x2 x3')
eq = x1 * a + x2 * b + x3 * c
pprint(eq.T)

for v in [z, u]:
    pprint(v.T)
    pprint(solve(eq - v))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
[x₁ + x₂  -x₁ + 2⋅x₃  x₂ + x₃]
[0  0  0]
{x₁: 0, x₂: 0, x₃: 0}
[2  4  -1]
{x₁: 10, x₂: -8, x₃: 7}
$