数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(部分集合の像や逆像、和集合、共通部分、包含関係、等号、単射)

解析入門〈3〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題2、3.を取り組んでみる。

2. 2. xを集合Xの任意の元とする。

      $\begin{array}{l}x\in f^{-1}\left({\displaystyle \underset{j\in J}{\cup }{B}_j}\right)\\ \iff \exists y\in {\displaystyle \underset{j\in J}{\cup }{B}_j}\left[f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists y\exists j\in J\left[y\in B_j\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists j\in J\exists y\left[y\in B_j\wedge f\left(x\right)=y\right]\\ \iff \exists j\in J\left[f\left(x\right)\in B_j\right]\\ \iff \exists j\in J\left[x\in f^{-1}\left(B_j\right)\right]\\ \iff x\in f^{-1}\left({\displaystyle \underset{j\in J}{\cup }{B}_j}\right)\end{array}$

3. yを集合Yの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}y\in F\left({\displaystyle \underset{i\in I}{\cap }{A}_i}\right)\\ \iff \exists x\left[x\in {\displaystyle \underset{i\in I}{\cap }{A}_i}\wedge y=f\left(x\right)\right]\\ \iff \exists x\forall i\in I\left[x\in A_i\wedge y=f\left(x\right)\right]\\ \Rightarrow \forall i\in I\exists x\left[x\in A_i\wedge y=f\left(x\right)\right]\\ \iff \forall i\in I\left[y\in F\left(A_i\right)\right]\\ y\in {\displaystyle \underset{i\in I}{\cap }F\left(A_i\right)}\\ \\ F\left({\displaystyle \underset{i\in I}{\cap }{A}_i}\right)\subset {\displaystyle \underset{i\in I}{\cap }F\left(A_i\right)}\end{array}$

   よって、問題の包含関係が成り立つ。

   写像fが単射の場合。

   $\begin{array}{l}\forall i\in I\exists x\left[x\in A_i\wedge y=f\left(x\right)\right]\\ \Rightarrow \forall i\in I\exists 1x\left[x\in A_i\wedge y=f\left(x\right)\right]\\ \Rightarrow \exists 1x\forall i\in I\left[x\in A_i\wedge y=f\left(x\right)\right]\\ \Rightarrow \exists x\forall i\in I\left[x\in A_i\wedge y=f\left(x\right)\right]\end{array}$

   よって等号が成り立つ。