数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 部分空間(部分空間の定義、R^3次元の部分空間について)

線型代数入門

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線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、5(部分空間)、問3.を取り組んでみる。

それぞれの部分集合をWとする。

3. 1. 1. 
         $\begin{array}{l}\left(0,0,0\right)\in W\\ 0\ge 0\end{array}$
      2. 
         $\begin{array}{l}v=\left(v_1,v_2,v_3\right),w=\left(w_1,w_2,w_3\right)\in W\\ v_3\ge 0,w_3\ge 0\\ v_3+w_3\ge 0\\ v+w\in W\end{array}$
      3. 
         $\begin{array}{l}v=\left(v_1,v_2,1\right)\in W\\ 1\ge 0\\ c=-1\\ cv=\left(c{v}_1,c{v}_2,-1\right)\\ -1<0\\ v\notin W\end{array}$

      部分空間とはならない。

   2. 1. 
         $\left(0,0,0\right)\in W$
      2. 
         $\begin{array}{l}v=\left(0,v_2,v_3\right),w=\left(0,w_2,w_3\right)\in W\\ v+w=\left(0,v_2+w_2,v_3+w_3\right)\in W\end{array}$
      3. 
         $\begin{array}{l}c\in ℝ\\ v=\left(0,v_2,v_3\right)\in W\\ cv=\left(0,c{v}_2,c{v}_3\right)\in W\end{array}$

      部分空間となる。

   3. $\begin{array}{l}{x}_1{}^2=x_1\\ x_1=0,1\end{array}$
      1. 
         
      2. 
         $\begin{array}{l}v=\left(1,0,0\right),w=\left(1,0,0\right)\in W\\ v+w=\left(2,0,0\right)\notin W\end{array}$
      3. 
         

      部分空間ではない。

   4. 1. 
         
      2. 
         $\begin{array}{l}v=\left(0,1,1\right),w=\left(1,1,0\right)\in W\\ v+w=\left(1,2,1\right)\notin W\end{array}$
      3. 
         

      部分空間ではない。

   5. 1. 
         $\left(0,0,0\right)\in W$
      2. 
         $\left(0,0,0\right)\in W$
      3. 
         $\begin{array}{l}c\in ℝ\\ v=\left(0,v_2,0\right)\\ cv=\left(0,c{v}_2,0\right)\in W\end{array}$

      部分空間となる。

   6. $x_3=\frac{x_1+x_2}{2}$
      1. 
         $\left(0,0,0\right)\in W$
      2. 
         $\begin{array}{l}v=\left(v_1,v_2,\frac{v_1+v_2}{2}\right),w=\left(w_1,w_2,\frac{w_1+w_2}{2}\right)\in W\\ v+w=\left(v_1+w_1,v_2+w_2,\frac{\left(v_1+w_1\right)+\left(v_2+w_2\right)}{2}\right)\in W\end{array}$
      3. 
         $\begin{array}{l}c\in ℝ\\ v=\left(v_1,v_2,\frac{v_1+v_2}{2}\right)\in W\\ cv=\left(c{v}_1,c{v}_2,\frac{c{v}_1+c{v}_2}{2}\right)\in W\end{array}$

      部分空間である。

   7. $x_2=3-x_1$
      1. 
         $\begin{array}{l}\left(0,3,v_3\right)\ne 0\\ \left(3,0,v_3\right)\ne 0\end{array}$
      2. 
         
      3. 
         

      部分空間ではない。