数学 - Python - 統計学 - ばらつきと広がりを測る(標準偏差の計算、分散、公式、単純化)

Head First Statistics
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

Head First Statistics (Dawn Griffiths (著)、黒川 利明 (翻訳)、木下 哲也 (翻訳)、黒川 洋 (翻訳)、黒川 めぐみ (翻訳)、オライリージャパン)の3章(ばらつきと広がりを測る)、プールパズル(p. 111)を取り組んでみる。

プールパズル(p. 111)

$\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle \sum {\left(x-\mu \right)}^2}}{n}\\ =\frac{{\displaystyle \sum \left(x^2-2\mu x+{\mu }^2\right)}}{n}\\ =\frac{{\displaystyle \sum x^2}}{n}-\frac{2\mu {\displaystyle \sum x}}{n}+\frac{{\displaystyle \sum {\mu }^2}}{n}\\ =\frac{{\displaystyle \sum x^2}}{n}-2\mu \mu +\frac{n{\mu }^2}{n}\\ =\frac{{\displaystyle \sum x^2}}{n}-{\mu }^2\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, summation

n = 10
i = symbols('i')
xs = [symbols(f'x_{i}') for i in range(1, n + 1)]
u = sum(xs) / n
eq1 = sum([(x - u) ** 2 for x in xs]) / n
eq2 = sum([x ** 2 for x in xs]) / n - u ** 2

for i,  eq in enumerate([eq1, eq2], 1):
    pprint(eq)

print(eq1.expand() == eq2.expand())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample4.py
                                                      2                       
⎛  x₁   x₁₀   x₂   x₃   x₄   x₅   x₆   x₇   x₈   9⋅x₉⎞    ⎛  x₁   x₁₀   x₂   x
⎜- ── - ─── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ── + ────⎟    ⎜- ── - ─── - ── - ─
⎝  10    10   10   10   10   10   10   10   10    10 ⎠    ⎝  10    10   10   1
─────────────────────────────────────────────────────── + ────────────────────
                           10                                                 

                                  2                                           
₃   x₄   x₅   x₆   x₇   9⋅x₈   x₉⎞    ⎛  x₁   x₁₀   x₂   x₃   x₄   x₅   x₆   9
─ - ── - ── - ── - ── + ──── - ──⎟    ⎜- ── - ─── - ── - ── - ── - ── - ── + ─
0   10   10   10   10    10    10⎠    ⎝  10    10   10   10   10   10   10    
─────────────────────────────────── + ────────────────────────────────────────
       10                                                        10           

              2                                                         2     
⋅x₇   x₈   x₉⎞    ⎛  x₁   x₁₀   x₂   x₃   x₄   x₅   9⋅x₆   x₇   x₈   x₉⎞    ⎛ 
─── - ── - ──⎟    ⎜- ── - ─── - ── - ── - ── - ── + ──── - ── - ── - ──⎟    ⎜-
10    10   10⎠    ⎝  10    10   10   10   10   10    10    10   10   10⎠    ⎝ 
─────────────── + ─────────────────────────────────────────────────────── + ──
                                             10                               

                                                    2                         
 x₁   x₁₀   x₂   x₃   x₄   9⋅x₅   x₆   x₇   x₈   x₉⎞    ⎛  x₁   x₁₀   x₂   x₃ 
 ── - ─── - ── - ── - ── + ──── - ── - ── - ── - ──⎟    ⎜- ── - ─── - ── - ── 
 10    10   10   10   10    10    10   10   10   10⎠    ⎝  10    10   10   10 
───────────────────────────────────────────────────── + ──────────────────────
                         10                                                   

                                2                                             
  9⋅x₄   x₅   x₆   x₇   x₈   x₉⎞    ⎛  x₁   x₁₀   x₂   9⋅x₃   x₄   x₅   x₆   x
+ ──── - ── - ── - ── - ── - ──⎟    ⎜- ── - ─── - ── + ──── - ── - ── - ── - ─
   10    10   10   10   10   10⎠    ⎝  10    10   10    10    10   10   10   1
───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────────
     10                                                        10             

            2                                                         2       
₇   x₈   x₉⎞    ⎛  x₁   x₁₀   9⋅x₂   x₃   x₄   x₅   x₆   x₇   x₈   x₉⎞    ⎛  x
─ - ── - ──⎟    ⎜- ── - ─── + ──── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ──⎟    ⎜- ─
0   10   10⎠    ⎝  10    10    10    10   10   10   10   10   10   10⎠    ⎝  1
───────────── + ─────────────────────────────────────────────────────── + ────
                                           10                                 

                                                  2                           
₁   9⋅x₁₀   x₂   x₃   x₄   x₅   x₆   x₇   x₈   x₉⎞    ⎛9⋅x₁   x₁₀   x₂   x₃   
─ + ───── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ── - ──⎟    ⎜──── - ─── - ── - ── - 
0     10    10   10   10   10   10   10   10   10⎠    ⎝ 10     10   10   10   
─────────────────────────────────────────────────── + ────────────────────────
                       10                                                     

                            2
x₄   x₅   x₆   x₇   x₈   x₉⎞ 
── - ── - ── - ── - ── - ──⎟ 
10   10   10   10   10   10⎠ 
─────────────────────────────
  10                         
  2      2     2     2     2     2     2     2     2     2                    
x₁    x₁₀    x₂    x₃    x₄    x₅    x₆    x₇    x₈    x₉    ⎛x₁   x₁₀   x₂   
─── + ──── + ─── + ─── + ─── + ─── + ─── + ─── + ─── + ─── - ⎜── + ─── + ── + 
 10    10     10    10    10    10    10    10    10    10   ⎝10    10   10   

                                 2
x₃   x₄   x₅   x₆   x₇   x₈   x₉⎞ 
── + ── + ── + ── + ── + ── + ──⎟ 
10   10   10   10   10   10   10⎠ 
True
$