数学 - Python - 細分による加法 - 積分法 – 定積分の定義 - 積分と微分の関係

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第19章(細分による加法 - 積分法)、19.1(定積分の定義)、積分と微分の関係、問1.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}G\left(x+h\right)-G\left(x\right)\\ ={\displaystyle {\int }_a^{x+h}f}-{\displaystyle {\int }_a^{x}f}\\ ={\displaystyle {\int }_a^{x}f}+{\displaystyle {\int }_x^{x+h}f}-{\displaystyle {\int }_a^{x}f}\\ ={\displaystyle {\int }_x^{x+h}f}\\ f\left(d\right)\le f\left(t\right)\le f\left(c\right)\\ \\ f\left(d\right)\left(x+h-x\right)=f\left(d\right)h\\ f\left(c\right)\left(x+h-x\right)=f\left(c\right)h\\ \\ f\left(c\right)h\le {\displaystyle {\int }_x^{x+h}f}\le f\left(d\right)h\\ f\left(d\right)\le \frac{1}{h}{\displaystyle {\int }_x^{x+h}f}\le f\left(c\right)\\ f\left(d\right)\le \frac{G\left(x+h\right)-G\left(x\right)}{h}\le f\left(c\right)\\ \\ \underset{h\to 0-}{\lim }\frac{G\left(x+h\right)-G\left(x\right)}{h}=f\left(x\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Function, Integral, Derivative

x, t = symbols('x, t')
a = symbols('a')

f = Function('f')
G = Integral(f(t), (t, a, x))
d = Derivative(G.doit(), x, 1)

print('1.')
pprint(d.doit())
pprint(f(x))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
       x     
       ⌠     
f(x) + ⎮ 0 dt
       ⌡     
       a     
f(x)
$