数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論)(三角関数を指数関数で表す)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題3.を取り組んでみる。

3. • 
     $\begin{array}{l}{e}^{ii}=\cos i+i\sin i\\ \\ e^{i\left(-i\right)}=\cos \left(-i\right)+i\sin \left(-i\right)\\ e^{-ii}=\cos i-i\sin i\\ \\ e^{ii}-e^{-ii}=2i\sin i\\ \sin i=\frac{e^{ii}-e^{-ii}}{2i}\\ =\frac{e^{-1}-e}{2i}\\ =\frac{i\left(e-e^{-1}\right)}{2}\end{array}$
   • 
     $\begin{array}{l}{e}^{i\left(-i\right)}=\cos \left(-i\right)+i\sin \left(-i\right)\\ e=\cos i-i\sin i\\ \\ e^{ii}=\cos i+i\sin i\\ e^{-1}=\cos i+i\sin i\\ \\ e+e^{-1}=2\cos i\\ \cos i=\frac{e+e^{-1}}{2}\end{array}$
   • 
     $\begin{array}{l}{e}^{iz}=\cos z+i\sin z\\ e^{-iz}=\cos \left(-z\right)+i\sin \left(-z\right)\\ e^{-iz}=\cos z-i\sin z\\ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ \\ \tan z\\ =\frac{\sin z}{\cos z}\\ =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)}\\ =\frac{e^{2iz}-1}{i\left(e^{2iz}+1\right)}\\ \\ \tan \left(1+i\right)\\ =\frac{e^{2i\left(1+i\right)}-1}{i\left(e^{2i\left(1+i\right)}+1\right)}\\ =\frac{e^{2\left(i-1\right)}-1}{i\left(e^{2\left(i-1\right)}+1\right)}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, exp, solve, I, E, sin, cos, tan

print('2.')
z = symbols('z')
eqs = [(sin(I), I * (E - exp(-1)) / 2),
       (cos(I), (E + exp(-1)) / 2),
       (tan(1 + I), (exp(2 * I * (1 + I)) - 1) / (I * (exp(2 * (I - 1)) + 1)))]

for i, eqs0 in enumerate(eqs, 1):
    print(f'({i})')
    for eq in eqs0:
        pprint(eq.as_real_imag())
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
2.
(1)
(0, sinh(1))
⎛      -1    ⎞
⎜     ℯ     ℯ⎟
⎜0, - ─── + ─⎟
⎝      2    2⎠

(2)
(cosh(1), 0)
⎛ -1       ⎞
⎜ℯ     ℯ   ⎟
⎜─── + ─, 0⎟
⎝ 2    2   ⎠

(3)
⎛     sin(2)           sinh(2)     ⎞
⎜────────────────, ────────────────⎟
⎝cos(2) + cosh(2)  cos(2) + cosh(2)⎠
⎛  ⎛ -2           ⎞  -2              ⎛      -2       ⎞  -2                    
⎜  ⎝ℯ  ⋅cos(2) + 1⎠⋅ℯ  ⋅sin(2)       ⎝-1 + ℯ  ⋅cos(2)⎠⋅ℯ  ⋅sin(2)             
⎜─────────────────────────────── - ───────────────────────────────, - ────────
⎜                              2                                 2            
⎜ -4    2      ⎛ -2           ⎞     -4    2      ⎛ -2           ⎞      -4    2
⎝ℯ  ⋅sin (2) + ⎝ℯ  ⋅cos(2) + 1⎠    ℯ  ⋅sin (2) + ⎝ℯ  ⋅cos(2) + 1⎠     ℯ  ⋅sin 

   -4    2                ⎛      -2       ⎞ ⎛ -2           ⎞⎞
  ℯ  ⋅sin (2)             ⎝-1 + ℯ  ⋅cos(2)⎠⋅⎝ℯ  ⋅cos(2) + 1⎠⎟
─────────────────────── - ──────────────────────────────────⎟
                      2                                  2  ⎟
      ⎛ -2           ⎞      -4    2      ⎛ -2           ⎞   ⎟
(2) + ⎝ℯ  ⋅cos(2) + 1⎠     ℯ  ⋅sin (2) + ⎝ℯ  ⋅cos(2) + 1⎠   ⎠

$