数学 - Python - 細分による加法 - 積分法 – 不定積分の計算 - 定数倍および和・差の積分(不定積分、積分定数を求める)

数学読本〈5〉

学習環境

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• Windows 10 Pro (OS)
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• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第19章(細分による加法 - 積分法)、19.2(不定積分の計算)、定数倍および和・差の積分、問3、4、5、6.を取り組んでみる。

3. それぞれのCは積分定数。

   1. 
      $x^3-2x^2-2x+C$
   2. 
      $x^2+\frac{1}{4}{x}^4+C$
   3. 
      $x^2+\frac{1}{4}{x}^4+C$
   4. 
      $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \left(t^4-6t^3\right)dt}\\ =\frac{4}{5}{t}^5-\frac{3}{2}{t}^4+C\end{array}$
   5. 
      $\begin{array}{l}{\displaystyle \int \left(4y^2+20y+25\right)dy}\\ =\frac{4}{3}{y}^3+10y^2+25y+C\end{array}$
   6. 
      $7y$
4. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+C\\ \frac{1}{3}·3^3-2·3^2+C=-4\\ 9-18+C=-4\\ C=5\\ \\ \frac{1}{3}{x}^3-2x^2+5\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}F\left(x\right)\\ ={\displaystyle \int \left(-3x^2+4x-1\right)dx}\\ =-x^3+2x^2-x+C\\ \\ F\left(1\right)=-1+2-1+C=3\\ C=3\\ \\ F\left(x\right)=-x^3+2x^2-x+3\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=x^3-ax\\ f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{a}{2}{x}^2+C\\ f\left(0\right)=C=-2\\ f\left(2\right)=4-2a-2=0\\ a=1\\ f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2-2\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Integral

print('3.')
x = symbols('x')
fs = [3 * x ** 2 - 4 * x - 2,
      2 * x + x ** 3,
      (x - 1) * (2 * x - 3),
      x ** 3 * (x - 6),
      (2 * x + 5) ** 2,
      7]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    I = Integral(f, x)
    for o in [I, I.doit()]:
        pprint(o)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
3.
(1)
⌠                    
⎮ ⎛   2          ⎞   
⎮ ⎝3⋅x  - 4⋅x - 2⎠ dx
⌡                    

 3      2      
x  - 2⋅x  - 2⋅x


(2)
⌠              
⎮ ⎛ 3      ⎞   
⎮ ⎝x  + 2⋅x⎠ dx
⌡              

 4     
x     2
── + x 
4      


(3)
⌠                     
⎮ (x - 1)⋅(2⋅x - 3) dx
⌡                     

   3      2      
2⋅x    5⋅x       
──── - ──── + 3⋅x
 3      2        


(4)
⌠              
⎮  3           
⎮ x ⋅(x - 6) dx
⌡              

 5      4
x    3⋅x 
── - ────
5     2  


(5)
⌠              
⎮          2   
⎮ (2⋅x + 5)  dx
⌡              

   3               
4⋅x        2       
──── + 10⋅x  + 25⋅x
 3                 


(6)
⌠     
⎮ 7 dx
⌡     

7⋅x


$