数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 曲線をえがくこと(三角関数(正弦、余弦、逆正弦、逆余弦)、累乗(べき乗)、増加・減少する範囲、極大点・極小点、導関数、未定義区間)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題46、47、48、49、50.を取り組んでみる。

46. $f\text{'}\left(x\right)=1-\sin \frac{x}{2}\ge 0$

    • 増加する範囲。

      $ℝ$

    • 減少する範囲。

      $\varphi$

    • 極大点。

    • 極小点。

47. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\cos x+\cos x^2-{\sin }^{2}x\\ =\cos x+2{\cos }^{2}x-1\\ =2{\cos }^{2}x+\cos x-1\\ 2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0\\ \cos x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{4}\\ =\frac{-1\pm 3}{4}\\ =-1,\frac{1}{2}\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $\begin{array}{l}-1<\cos x<\frac{1}{2}\\ \frac{\pi }{3}+2n\pi <x<\frac{5}{3}\pi +2n\pi \end{array}$

    • 減少する範囲。

      $-\frac{\pi }{3}+2n\pi <x<\frac{\pi }{3}+2n\pi$

    • 極大点。

      $x=\frac{5}{3}\pi +2n\pi$

    • 極小点。

      $x=\frac{\pi }{3}+2n\pi$
48. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=2\cos 2x-\left(2{\cos }^{2}2x-2{\sin }^{2}2x\right)\\ =2\left(\cos 2x-{\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x\right)\\ =2\left(\cos 2x-2{\cos }^{2}2x+1\right)\\ =-2\left(2{\cos }^{2}2x-\cos 2x-1\right)\\ 2{\cos }^{2}2x-\cos 2x-1=0\\ \cos 2x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}\\ =\frac{1\pm 3}{4}\\ =1,-\frac{1}{2}\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $\begin{array}{l}-\frac{1}{2}<\cos 2x\\ -\frac{2}{3}\pi +2n\pi <2x<\frac{2}{3}\pi +2n\pi \\ -\frac{2}{3}\pi +n\pi <x<\frac{\pi }{3}+n\pi \end{array}$

    • 減少する範囲。

      $\begin{array}{l}\frac{2}{3}\pi +2n\pi <2x<\frac{4}{3}\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{3}+n\pi <x<\frac{2}{3}\pi +n\pi \end{array}$

    • 極大点。

      $x=\frac{\pi }{3}+n\pi$

    • 極小点。

      $x=\frac{2}{3}\pi +n\pi$
49. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\cos x-3{\sin }^{2}x\cos x\\ =\cos x\left(1-3{\sin }^{2}x\right)\\ 1-3{\sin }^{2}x=0\\ {\sin }^{2}x=\frac{1}{3}\\ \sin x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=\pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $\begin{array}{l}2n\pi <x<\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\frac{\pi }{2}+2n\pi <x<\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\\ \pi +\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi <x<\frac{3}{2}\pi +2n\pi ,2\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi <x<2\pi +2n\pi \end{array}$

    • 減少する範囲。

      $\begin{array}{l}2n\pi <x<\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\frac{\pi }{2}+2n\pi <x<\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\\ \pi +\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi <x<\frac{3}{2}\pi +2n\pi ,2\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi <x<2\pi +2n\pi \end{array}$

    • 極大点。

      $x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\frac{3}{2}\pi +2n\pi$

    • 極小点。

      $x=\frac{\pi }{2}+2n\pi ,\pi +\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,2\pi -\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi$
50. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=-\sin x+3{\cos }^{2}x\sin x\\ =\sin x\left(3{\cos }^{2}x-1\right)\\ 3{\cos }^{2}x-1=0\\ {\cos }^{2}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $\begin{array}{l}2n\pi <x<\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\\ \arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+2n\pi <x<\pi +2n\pi ,\\ \arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi <x<\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi \end{array}$

    • 減少する範囲。

      $\begin{array}{l}\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi <x<\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+2n\pi ,\\ \pi +2n\pi <x<\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi +2n\pi ,\\ \arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi +2n\pi <x<2\pi +2n\pi \end{array}$

    • 極大点。

      $x=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+2n\pi ,\pi +2n\pi ,\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi$

    • 極小点。

      $x=\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+2n\pi ,\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi +2n\pi ,2\pi +2n\pi$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot, sqrt, sin, cos, Rational

x = symbols('x')
fs = [x + 2 * cos(x / 2),
      sin(x) + sin(x) * cos(x),
      sin(2 * x) - sin(2 * x) * cos(2 * x),
      sin(x) - sin(x) ** 3,
      cos(x) - cos(x) ** 3]

for i, f in enumerate(fs, 46):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample46.py
(46)
d ⎛         ⎛x⎞⎞
──⎜x + 2⋅cos⎜─⎟⎟
dx⎝         ⎝2⎠⎠
     ⎛x⎞    
- sin⎜─⎟ + 1
     ⎝2⎠    
[π]
    ⎛         ⎛x⎞⎞
lim ⎜x + 2⋅cos⎜─⎟⎟
x─→∞⎝         ⎝2⎠⎠
∞
     ⎛         ⎛x⎞⎞
 lim ⎜x + 2⋅cos⎜─⎟⎟
x─→-∞⎝         ⎝2⎠⎠
-∞

(47)
d                         
──(sin(x)⋅cos(x) + sin(x))
dx                        
     2         2            
- sin (x) + cos (x) + cos(x)
⎡-π   π⎤
⎢───, ─⎥
⎣ 3   3⎦
lim (sin(x)⋅cos(x) + sin(x))
x─→∞                        
<-2, 2>
 lim (sin(x)⋅cos(x) + sin(x))
x─→-∞                        
<-2, 2>

(48)
d                                
──(-sin(2⋅x)⋅cos(2⋅x) + sin(2⋅x))
dx                               
     2             2                  
2⋅sin (2⋅x) - 2⋅cos (2⋅x) + 2⋅cos(2⋅x)
⎡   -π   π⎤
⎢0, ───, ─⎥
⎣    3   3⎦
lim (-sin(2⋅x)⋅cos(2⋅x) + sin(2⋅x))
x─→∞                               
<-2, 2>
 lim (-sin(2⋅x)⋅cos(2⋅x) + sin(2⋅x))
x─→-∞                               
<-2, 2>

(49)
d ⎛     3            ⎞
──⎝- sin (x) + sin(x)⎠
dx                    
       2                   
- 3⋅sin (x)⋅cos(x) + cos(x)
⎡-π   π         ⎛  ___________⎞        ⎛  ___________⎞         ⎛  __________⎞ 
⎢───, ─, -2⋅atan⎝╲╱ -2⋅√6 + 5 ⎠, 2⋅atan⎝╲╱ -2⋅√6 + 5 ⎠, -2⋅atan⎝╲╱ 2⋅√6 + 5 ⎠,
⎣ 2   2                                                                       

       ⎛  __________⎞⎤
 2⋅atan⎝╲╱ 2⋅√6 + 5 ⎠⎥
                     ⎦
    ⎛     3            ⎞
lim ⎝- sin (x) + sin(x)⎠
x─→∞                    
<-2, 2>
     ⎛     3            ⎞
 lim ⎝- sin (x) + sin(x)⎠
x─→-∞                    
<-2, 2>

(50)
d ⎛     3            ⎞
──⎝- cos (x) + cos(x)⎠
dx                    
            2            
3⋅sin(x)⋅cos (x) - sin(x)
⎡          ⎛  _________⎞        ⎛  _________⎞         ⎛  ________⎞        ⎛  _
⎣0, -2⋅atan⎝╲╱ -√3 + 2 ⎠, 2⋅atan⎝╲╱ -√3 + 2 ⎠, -2⋅atan⎝╲╱ √3 + 2 ⎠, 2⋅atan⎝╲╱ 

_______⎞⎤
√3 + 2 ⎠⎦
    ⎛     3            ⎞
lim ⎝- cos (x) + cos(x)⎠
x─→∞                    
<-2, 2>
     ⎛     3            ⎞
 lim ⎝- cos (x) + cos(x)⎠
x─→-∞                    
<-2, 2>

$