数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 – 行列の逆転(逆行列の逆転、存在するための条件、2x2行列)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、9(行列の逆転)、練習問題2、3、4.を取り組んでみる。

2. 
   

   行列Aについて Det(A) = 0 とする。

   Aが逆行列をもつと仮定する。

   $\begin{array}{l}Det\left(A{A}^{-1}\right)=Det\left(A\right)Det\left(B\right)\\ Det\left(I_n\right)=0\\ 1=0\end{array}$

   よって、矛盾が生じるので、Aは逆行列をもたない。

3. 
   $\begin{array}{l}\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc\\ b_{11}=\frac{d}{ad-bc}\\ b_{12}=\frac{-b}{ad-bc}\\ b_{21}=\frac{-c}{ad-bc}\\ b_{22}=\frac{a}{ad-bc}\\ \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\end{array}$
4. 
   
   • 
     $\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -a& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -a& 1\end{array}\right)$
   • 
     $\begin{array}{l}\frac{1}{bc}\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& b\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{b}& 0\\ 0& \frac{1}{c}\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('3.')
a, b, c, d = symbols('a b c d')
M = Matrix([[a, b],
            [c, d]])
pprint(M)
pprint(M.inv())

print('4.')
M = Matrix([[1, 0],
            [a, 1]])
pprint(M)
pprint(M.inv())

M = Matrix([[b, 0],
            [0, c]])
pprint(M)
pprint(M.inv())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample2.py
3.
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦
⎡    d         -b    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -c          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦
4.
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣a  1⎦
⎡1   0⎤
⎢     ⎥
⎣-a  1⎦
⎡b  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  c⎦
⎡1   ⎤
⎢─  0⎥
⎢b   ⎥
⎢    ⎥
⎢   1⎥
⎢0  ─⎥
⎣   c⎦
$